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(x-5)^3/((x-5)^2-1)
Trazado el gráfico de la función/ (x-5)^3/((x-5)^2-1)

Gráfico de la función y = (x-5)^3/((x-5)^2-1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
                3  
         (x - 5)   
f(x) = ------------
              2    
       (x - 5)  - 1
f(x)=(x−5)3(x−5)2−1f{\left(x \right)} = \frac{\left(x - 5\right)^{3}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} 
f = (x - 5)^3/((x - 5)^2 - 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=4x_{1} = 4
x2=6x_{2} = 6
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x−5)3(x−5)2−1=0\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=5x_{1} = 5
Solución numérica
x1=5.00004232446167x_{1} = 5.00004232446167
x2=4.9999902238684x_{2} = 4.9999902238684
x3=5.00000818856077x_{3} = 5.00000818856077
x4=4.99997201735867x_{4} = 4.99997201735867
x5=5.00000881298824x_{5} = 5.00000881298824
x6=5.00000702709169x_{6} = 5.00000702709169
x7=4.99997751145503x_{7} = 4.99997751145503
x8=4.99998119205x_{8} = 4.99998119205
x9=4.99991561740584x_{9} = 4.99991561740584
x10=4.9999332352379x_{10} = 4.9999332352379
x11=5.00005666706959x_{11} = 5.00005666706959
x12=4.9999830395201x_{12} = 4.9999830395201
x13=5.00001009654457x_{13} = 5.00001009654457
x14=4.9999445208624x_{14} = 4.9999445208624
x15=5.00008732791712x_{15} = 5.00008732791712
x16=4.99999183554036x_{16} = 4.99999183554036
x17=4.99999253825381x_{17} = 4.99999253825381
x18=4.99999220271333x_{18} = 4.99999220271333
x19=5.0000085945142x_{19} = 5.0000085945142
x20=5.00000928509237x_{20} = 5.00000928509237
x21=5.00003081631402x_{21} = 5.00003081631402
x22=5.00000732386819x_{22} = 5.00000732386819
x23=5.00000981072363x_{23} = 5.00000981072363
x24=5.00001626210569x_{24} = 5.00001626210569
x25=4.99998010767217x_{25} = 4.99998010767217
x26=5.00000904287448x_{26} = 5.00000904287448
x27=4.99999098651591x_{27} = 4.99999098651591
x28=5.00001072133879x_{28} = 5.00001072133879
x29=4.99998455523443x_{29} = 4.99998455523443
x30=5.00002003678796x_{30} = 5.00002003678796
x31=4.999989940092x_{31} = 4.999989940092
x32=4.99999121492728x_{32} = 4.99999121492728
x33=4.99998781749152x_{33} = 4.99998781749152
x34=5.00002827116589x_{34} = 5.00002827116589
x35=5.00000717240871x_{35} = 5.00000717240871
x36=5.00000799964801x_{36} = 5.00000799964801
x37=5.00001425155074x_{37} = 5.00001425155074
x38=5.00001486391678x_{38} = 5.00001486391678
x39=4.99996654143606x_{39} = 4.99996654143606
x40=4.99996952697399x_{40} = 4.99996952697399
x41=4.99999049205121x_{41} = 4.99999049205121
x42=5.00001368779204x_{42} = 5.00001368779204
x43=4.99997412747522x_{43} = 4.99997412747522
x44=5.00006852850339x_{44} = 5.00006852850339
x45=4.99996289340425x_{45} = 4.99996289340425
x46=4.99995243880542x_{46} = 4.99995243880542
x47=5.00002267368173x_{47} = 5.00002267368173
x48=4.99998689525252x_{48} = 4.99998689525252
x49=5.00000781926375x_{49} = 5.00000781926375
x50=4.99998823148331x_{50} = 4.99998823148331
x51=5.00001181871685x_{51} = 5.00001181871685
x52=4.99999269541345x_{52} = 4.99999269541345
x53=5.00002611853011x_{53} = 5.00002611853011
x54=4.99999202335433x_{54} = 4.99999202335433
x55=4.99998861820562x_{55} = 4.99998861820562
x56=5.00000662447054x_{56} = 5.00000662447054
x57=4.99998144652258x_{57} = 4.99998144652258
x58=4.99999143203487x_{58} = 4.99999143203487
x59=4.99998637954776x_{59} = 4.99998637954776
x60=5.00001893694995x_{60} = 5.00001893694995
x61=5.00002127324503x_{61} = 5.00002127324503
x62=4.999988980272x_{62} = 4.999988980272
x63=4.99997888965287x_{63} = 4.99997888965287
x64=4.99995832854636x_{64} = 4.99995832854636
x65=5.00000748186836x_{65} = 5.00000748186836
x66=4.99998737323282x_{66} = 4.99998737323282
x67=4.99997593895167x_{67} = 4.99997593895167
x68=5.00002427335701x_{68} = 5.00002427335701
x69=5.00001553148517x_{69} = 5.00001553148517
x70=5.00001142873603x_{70} = 5.00001142873603
x71=5.00000688755062x_{71} = 5.00000688755062
x72=5.00001795216478x_{72} = 5.00001795216478
x73=4.99998931997175x_{73} = 4.99998931997175
x74=5.00001316705874x_{74} = 5.00001316705874
x75=5.00001706519764x_{75} = 5.00001706519764
x76=4.99999074589311x_{76} = 4.99999074589311
x77=4.99998521550165x_{77} = 4.99998521550165
x78=4.99999237417628x_{78} = 4.99999237417628
x79=4.99998963931881x_{79} = 4.99998963931881
x80=5.00001106371901x_{80} = 5.00001106371901
x81=5.00004842077401x_{81} = 5.00004842077401
x82=5.00001268459416x_{82} = 5.00001268459416
x83=4.99999163865847x_{83} = 4.99999163865847
x84=5.00000764684266x_{84} = 5.00000764684266
x85=5.00003762054928x_{85} = 5.00003762054928
x86=5.0000083866222x_{86} = 5.0000083866222
x87=5.0000103995494x_{87} = 5.0000103995494
x88=5.00001223631947x_{88} = 5.00001223631947
x89=4.99998383297484x_{89} = 4.99998383297484
x90=5.00000954066301x_{90} = 5.00000954066301
x91=4.9999821637415x_{91} = 4.9999821637415
x92=4.99998582145396x_{92} = 4.99998582145396
x93=5.00000675344758x_{93} = 5.00000675344758
x94=5.00003387414658x_{94} = 5.00003387414658
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x - 5)^3/((x - 5)^2 - 1).
(−5)3−1+(−5)2\frac{\left(-5\right)^{3}}{-1 + \left(-5\right)^{2}}
Resultado:
f(0)=−12524f{\left(0 \right)} = - \frac{125}{24}
Punto:
(0, -125/24)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
(10−2x)(x−5)3((x−5)2−1)2+3(x−5)2(x−5)2−1=0\frac{\left(10 - 2 x\right) \left(x - 5\right)^{3}}{\left(\left(x - 5\right)^{2} - 1\right)^{2}} + \frac{3 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5x_{1} = 5
x2=5−3x_{2} = 5 - \sqrt{3}
x3=3+5x_{3} = \sqrt{3} + 5
Signos de extremos en los puntos:
(5, 0)

                 ___ 
       ___  -3*\/ 3  
(5 - \/ 3, --------)
               2     

                ___ 
       ___  3*\/ 3  
(5 + \/ 3, -------)
               2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=3+5x_{1} = \sqrt{3} + 5
Puntos máximos de la función:
x1=5−3x_{1} = 5 - \sqrt{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,5−3]∪[3+5,∞)\left(-\infty, 5 - \sqrt{3}\right] \cup \left[\sqrt{3} + 5, \infty\right)
Crece en los intervalos
[5−3,3+5]\left[5 - \sqrt{3}, \sqrt{3} + 5\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(x−5)((x−5)2(4(x−5)2(x−5)2−1−1)(x−5)2−1−6(x−5)2(x−5)2−1+3)(x−5)2−1=0\frac{2 \left(x - 5\right) \left(\frac{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - \frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=5x_{1} = 5
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=4x_{1} = 4
x2=6x_{2} = 6

lim⁡x→4−(2(x−5)((x−5)2(4(x−5)2(x−5)2−1−1)(x−5)2−1−6(x−5)2(x−5)2−1+3)(x−5)2−1)=−∞\lim_{x \to 4^-}\left(\frac{2 \left(x - 5\right) \left(\frac{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - \frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→4+(2(x−5)((x−5)2(4(x−5)2(x−5)2−1−1)(x−5)2−1−6(x−5)2(x−5)2−1+3)(x−5)2−1)=∞\lim_{x \to 4^+}\left(\frac{2 \left(x - 5\right) \left(\frac{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - \frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=4x_{1} = 4
- es el punto de flexión
lim⁡x→6−(2(x−5)((x−5)2(4(x−5)2(x−5)2−1−1)(x−5)2−1−6(x−5)2(x−5)2−1+3)(x−5)2−1)=−∞\lim_{x \to 6^-}\left(\frac{2 \left(x - 5\right) \left(\frac{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - \frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1}\right) = -\infty
lim⁡x→6+(2(x−5)((x−5)2(4(x−5)2(x−5)2−1−1)(x−5)2−1−6(x−5)2(x−5)2−1+3)(x−5)2−1)=∞\lim_{x \to 6^+}\left(\frac{2 \left(x - 5\right) \left(\frac{\left(x - 5\right)^{2} \left(\frac{4 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - 1\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} - \frac{6 \left(x - 5\right)^{2}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} + 3\right)}{\left(x - 5\right)^{2} - 1}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x2=6x_{2} = 6
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,5]\left(-\infty, 5\right]
Convexa en los intervalos
[5,∞)\left[5, \infty\right)
Asíntotas verticales
Hay:
x1=4x_{1} = 4
x2=6x_{2} = 6
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x−5)3(x−5)2−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1}\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x−5)3(x−5)2−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x - 5)^3/((x - 5)^2 - 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x−5)3x((x−5)2−1))=1\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=xy = x
lim⁡x→∞((x−5)3x((x−5)2−1))=1\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{x \left(\left(x - 5\right)^{2} - 1\right)}\right) = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=xy = x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x−5)3(x−5)2−1=(−x−5)3(−x−5)2−1\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} = \frac{\left(- x - 5\right)^{3}}{\left(- x - 5\right)^{2} - 1}
- No
(x−5)3(x−5)2−1=−(−x−5)3(−x−5)2−1\frac{\left(x - 5\right)^{3}}{\left(x - 5\right)^{2} - 1} = - \frac{\left(- x - 5\right)^{3}}{\left(- x - 5\right)^{2} - 1}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = (x-5)^3/((x-5)^2-1)
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