Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ ln(x+1)/x^2

Gráfico de la función y = ln(x+1)/x^2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x + 1)
f(x) = ----------
            2    
           x
f(x)=log⁡(x+1)x2f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} 
f = log(x + 1)/x^2
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-5050
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x+1)x2=0\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x + 1)/x^2.
log⁡(1)02\frac{\log{\left(1 \right)}}{0^{2}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
1x2(x+1)−2log⁡(x+1)x3=0\frac{1}{x^{2} \left(x + 1\right)} - \frac{2 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=50574.5841187331x_{1} = 50574.5841187331
x2=41990.4768637283x_{2} = 41990.4768637283
x3=45215.7074604315x_{3} = 45215.7074604315
x4=53781.0457217524x_{4} = 53781.0457217524
x5=54848.509683824x_{5} = 54848.509683824
x6=38756.8660046568x_{6} = 38756.8660046568
x7=46289.064371325x_{7} = 46289.064371325
x8=47361.606349444x_{8} = 47361.606349444
x9=26810.2872525746x_{9} = 26810.2872525746
x10=37676.9721009352x_{10} = 37676.9721009352
x11=28994.9006573063x_{11} = 28994.9006573063
x12=48433.3581910211x_{12} = 48433.3581910211
x13=40913.5815897579x_{13} = 40913.5815897579
x14=34430.6478336029x_{14} = 34430.6478336029
x15=31173.3313715092x_{15} = 31173.3313715092
x16=35513.9083148437x_{16} = 35513.9083148437
x17=51644.1015564992x_{17} = 51644.1015564992
x18=39835.7231631122x_{18} = 39835.7231631122
x19=25715.4456218264x_{19} = 25715.4456218264
x20=33346.1687209482x_{20} = 33346.1687209482
x21=44141.5093837038x_{21} = 44141.5093837038
x22=36596.0007569018x_{22} = 36596.0007569018
x23=55915.3249294565x_{23} = 55915.3249294565
x24=27903.4079776671x_{24} = 27903.4079776671
x25=43066.4423481692x_{25} = 43066.4423481692
x26=52712.9157330008x_{26} = 52712.9157330008
x27=32260.4163103634x_{27} = 32260.4163103634
x28=30084.8495410589x_{28} = 30084.8495410589
x29=49504.3433661729x_{29} = 49504.3433661729
Signos de extremos en los puntos:
(50574.58411873309, 4.2346049967001e-9)

(41990.47686372832, 6.03744388378113e-9)

(45215.7074604315, 5.24305727525894e-9)

(53781.04572175242, 3.76597001030357e-9)

(54848.50968382404, 3.62734250590277e-9)

(38756.86600465678, 7.03357070069416e-9)

(46289.06437132503, 5.01367225027522e-9)

(47361.60634944398, 4.79937759596204e-9)

(26810.28725257456, 1.41857245217561e-8)

(37676.97210093522, 7.42263360576165e-9)

(28994.90065730632, 1.22217885417782e-8)

(48433.35819102114, 4.5988617340066e-9)

(40913.581589757945, 6.34393187674682e-9)

(34430.64783360289, 8.81231556386405e-9)

(31173.33137150923, 1.06478695226975e-8)

(35513.9083148437, 8.30748079799758e-9)

(51644.10155649918, 4.06887511441187e-9)

(39835.72316311217, 6.67505555026526e-9)

(25715.44562182641, 1.53563125217244e-8)

(33346.16872094823, 9.36604094195435e-9)

(44141.50938370377, 5.48900567183577e-9)

(36596.0007569018, 7.84587348163993e-9)

(55915.32492945645, 3.49641108980673e-9)

(27903.407977667084, 1.31473640166017e-8)

(43066.442348169236, 5.75317647544992e-9)

(52712.91573300081, 3.91291776378939e-9)

(32260.416310363373, 9.97528922847023e-9)

(30084.849541058928, 1.13930295578254e-8)

(49504.34336617287, 4.41095362759701e-9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
Decrece en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−1(x+1)2−4x(x+1)+6log⁡(x+1)x2x2=0\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(x + 1\right)} + \frac{6 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}}{x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=3391.80385636068x_{1} = 3391.80385636068
x2=10638.8166105699x_{2} = 10638.8166105699
x3=8588.7425929889x_{3} = 8588.7425929889
x4=12679.3248882297x_{4} = 12679.3248882297
x5=7816.88817221548x_{5} = 7816.88817221548
x6=10127.2953833572x_{6} = 10127.2953833572
x7=6007.43870139128x_{7} = 6007.43870139128
x8=5227.4110777538x_{8} = 5227.4110777538
x9=9358.81248185136x_{9} = 9358.81248185136
x10=8331.66707889457x_{10} = 8331.66707889457
x11=11404.999676375x_{11} = 11404.999676375
x12=3919.00282185223x_{12} = 3919.00282185223
x13=9102.30776252194x_{13} = 9102.30776252194
x14=11915.1074483123x_{14} = 11915.1074483123
x15=4181.6813396605x_{15} = 4181.6813396605
x16=3655.73120631204x_{16} = 3655.73120631204
x17=7301.20799885123x_{17} = 7301.20799885123
x18=13188.2132761766x_{18} = 13188.2132761766
x19=6525.7990672492x_{19} = 6525.7990672492
x20=2595.24233861184x_{20} = 2595.24233861184
x21=12169.9689280799x_{21} = 12169.9689280799
x22=6784.53774379348x_{22} = 6784.53774379348
x23=5747.78179142154x_{23} = 5747.78179142154
x24=10383.1324543599x_{24} = 10383.1324543599
x25=2861.66326372065x_{25} = 2861.66326372065
x26=10894.3527982279x_{26} = 10894.3527982279
x27=8845.6202212781x_{27} = 8845.6202212781
x28=7043.0027941782x_{28} = 7043.0027941782
x29=11660.1189472527x_{29} = 11660.1189472527
x30=11149.7456838376x_{30} = 11149.7456838376
x31=9871.3001468096x_{31} = 9871.3001468096
x32=3127.14533053197x_{32} = 3127.14533053197
x33=12424.7069464868x_{33} = 12424.7069464868
x34=9615.14116174033x_{34} = 9615.14116174033
x35=6266.77162202048x_{35} = 6266.77162202048
x36=4966.64820972828x_{36} = 4966.64820972828
x37=4705.46222167307x_{37} = 4705.46222167307
x38=5487.78027628399x_{38} = 5487.78027628399
x39=7559.16594554901x_{39} = 7559.16594554901
x40=4443.81949477837x_{40} = 4443.81949477837
x41=12933.8259749235x_{41} = 12933.8259749235
x42=8074.38528838515x_{42} = 8074.38528838515
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(−1(x+1)2−4x(x+1)+6log⁡(x+1)x2x2)=−∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(x + 1\right)} + \frac{6 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = -\infty
lim⁡x→0+(−1(x+1)2−4x(x+1)+6log⁡(x+1)x2x2)=∞\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{- \frac{1}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{4}{x \left(x + 1\right)} + \frac{6 \log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}}{x^{2}}\right) = \infty
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)x2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)x2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x + 1)/x^2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x+1)xx2)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x+1)xx2)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x x^{2}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x+1)x2=log⁡(1−x)x2\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} = \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{2}}
- No
log⁡(x+1)x2=−log⁡(1−x)x2\frac{\log{\left(x + 1 \right)}}{x^{2}} = - \frac{\log{\left(1 - x \right)}}{x^{2}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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