Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
y=x3-1
- 4x-7
- (2x^3-3x^2-2x+1)/(1-3x^2)
-
(x-5)/(x^2-25)
-
Expresiones idénticas
- (dos x^ tres -3x^ dos -2x+ uno)/(uno -3x^2)
- (2x al cubo menos 3x al cuadrado menos 2x más 1) dividir por (1 menos 3x al cuadrado )
- (dos x en el grado tres menos 3x en el grado dos menos 2x más uno) dividir por (uno menos 3x al cuadrado )
- (2x3-3x2-2x+1)/(1-3x2)
- 2x3-3x2-2x+1/1-3x2
- (2x³-3x²-2x+1)/(1-3x²)
- (2x en el grado 3-3x en el grado 2-2x+1)/(1-3x en el grado 2)
- 2x^3-3x^2-2x+1/1-3x^2
- (2x^3-3x^2-2x+1) dividir por (1-3x^2)
-
Expresiones semejantes
- (2x^3-3x^2-2x-1)/(1-3x^2)
- (2x^3-3x^2+2x+1)/(1-3x^2)
- (2x^3-3x^2-2x+1)/(1+3x^2)
- (2x^3+3x^2-2x+1)/(1-3x^2)
Gráfico de la función y = (2x^3-3x^2-2x+1)/(1-3x^2)
Solución
Ha introducido
[src]
3 2
2*x - 3*x - 2*x + 1
f(x) = ---------------------
2
1 - 3*x
$$f{\left(x \right)} = \frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
f = (-2*x + 2*x^3 - 3*x^2 + 1)/(1 - 3*x^2)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{7}{12 \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{237} i}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{237} i}{36}}$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2} + \frac{7}{12 \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{237} i}{36}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{8} + \frac{\sqrt{237} i}{36}}$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1\right)}{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{2}} + \frac{6 x^{2} - 6 x - 2}{1 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$\frac{6 x \left(\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1\right)}{\left(1 - 3 x^{2}\right)^{2}} + \frac{6 x^{2} - 6 x - 2}{1 - 3 x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
$$\lim_{x \to -0.577350269189626^-}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.577350269189626^+}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.577350269189626^-}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.577350269189626^+}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 0$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
$$\lim_{x \to -0.577350269189626^-}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to -0.577350269189626^+}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 0.577350269189626^-}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = -\infty$$
$$\lim_{x \to 0.577350269189626^+}\left(- \frac{6 \left(2 x + \frac{4 x \left(- 3 x^{2} + 3 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1} - 1 + \frac{\left(\frac{12 x^{2}}{3 x^{2} - 1} - 1\right) \left(2 x^{3} - 3 x^{2} - 2 x + 1\right)}{3 x^{2} - 1}\right)}{3 x^{2} - 1}\right) = \infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left(-\infty, 0\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left[0, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
$$x_{1} = -0.577350269189626$$
$$x_{2} = 0.577350269189626$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (2*x^3 - 3*x^2 - 2*x + 1)/(1 - 3*x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x \left(1 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{2 x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x \left(1 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{2 x}{3}$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x \left(1 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
$$y = - \frac{2 x}{3}$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{x \left(1 - 3 x^{2}\right)}\right) = - \frac{2}{3}$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
$$y = - \frac{2 x}{3}$$
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = \frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = - \frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = \frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
- No
$$\frac{\left(- 2 x + \left(2 x^{3} - 3 x^{2}\right)\right) + 1}{1 - 3 x^{2}} = - \frac{- 2 x^{3} - 3 x^{2} + 2 x + 1}{1 - 3 x^{2}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar