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x^3-12x^2+x-1
Trazado el gráfico de la función/ x^3-12x^2+x-1

Gráfico de la función y = x^3-12x^2+x-1

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        3       2        
f(x) = x  - 12*x  + x - 1
f(x)=(x+(x3−12x2))−1f{\left(x \right)} = \left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1 
f = x + x^3 - 12*x^2 - 1
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-25002500
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
(x+(x3−12x2))−1=0\left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=4731974918+12523+4+1974918+12523x_{1} = \frac{47}{3 \sqrt[3]{\frac{\sqrt{19749}}{18} + \frac{125}{2}}} + 4 + \sqrt[3]{\frac{\sqrt{19749}}{18} + \frac{125}{2}}
Solución numérica
x1=11.9231638805674x_{1} = 11.9231638805674
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^3 - 12*x^2 + x - 1.
−1+(03−12⋅02)-1 + \left(0^{3} - 12 \cdot 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=−1f{\left(0 \right)} = -1
Punto:
(0, -1)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x2−24x+1=03 x^{2} - 24 x + 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4−1413x_{1} = 4 - \frac{\sqrt{141}}{3}
x2=1413+4x_{2} = \frac{\sqrt{141}}{3} + 4
Signos de extremos en los puntos:
                               3                   2           
       _____      /      _____\       /      _____\      _____ 
     \/ 141       |    \/ 141 |       |    \/ 141 |    \/ 141  
(4 - -------, 3 + |4 - -------|  - 12*|4 - -------|  - -------)
        3         \       3   /       \       3   /       3    

                               3                   2           
       _____      /      _____\       /      _____\      _____ 
     \/ 141       |    \/ 141 |       |    \/ 141 |    \/ 141  
(4 + -------, 3 + |4 + -------|  - 12*|4 + -------|  + -------)
        3         \       3   /       \       3   /       3


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=1413+4x_{1} = \frac{\sqrt{141}}{3} + 4
Puntos máximos de la función:
x1=4−1413x_{1} = 4 - \frac{\sqrt{141}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,4−1413]∪[1413+4,∞)\left(-\infty, 4 - \frac{\sqrt{141}}{3}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{141}}{3} + 4, \infty\right)
Crece en los intervalos
[4−1413,1413+4]\left[4 - \frac{\sqrt{141}}{3}, \frac{\sqrt{141}}{3} + 4\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
6(x−4)=06 \left(x - 4\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4x_{1} = 4

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4,∞)\left[4, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4]\left(-\infty, 4\right]
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞((x+(x3−12x2))−1)=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(\left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞((x+(x3−12x2))−1)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^3 - 12*x^2 + x - 1, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞((x+(x3−12x2))−1x)=∞\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞((x+(x3−12x2))−1x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
(x+(x3−12x2))−1=−x3−12x2−x−1\left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1 = - x^{3} - 12 x^{2} - x - 1
- No
(x+(x3−12x2))−1=x3+12x2+x+1\left(x + \left(x^{3} - 12 x^{2}\right)\right) - 1 = x^{3} + 12 x^{2} + x + 1
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^3-12x^2+x-1
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