Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
e^3*x+10*e^2*x
-
x^11
-
(-cos(2*x)-sin(2*x))*exp(x)
-
5/(x^2-16)
-
Expresiones idénticas
- log(x- dos)/(x^ dos - cuatro)
- logaritmo de (x menos 2) dividir por (x al cuadrado menos 4)
- logaritmo de (x menos dos) dividir por (x en el grado dos menos cuatro)
- log(x-2)/(x2-4)
- logx-2/x2-4
- log(x-2)/(x²-4)
- log(x-2)/(x en el grado 2-4)
- logx-2/x^2-4
- log(x-2) dividir por (x^2-4)
-
Expresiones semejantes
- log(x+2)/(x^2-4)
- log(x-2)/(x^2+4)
-
Expresiones con funciones
- Logaritmo log
- log(2,x)
- log(2-cos(x))
- log(-2*sqrt(x^4))
- log(e+1/x)
- log(1+x^4)
Gráfico de la función y = log(x-2)/(x^2-4)
Solución
Ha introducido
[src]
log(x - 2)
f(x) = ----------
2
x - 4
$$f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}$$
f = log(x - 2)/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = 3$$
Solución numérica
$$x_{1} = 3$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 38981.3549927608$$
$$x_{2} = 43284.4911641455$$
$$x_{3} = 52919.5245251102$$
$$x_{4} = 53986.5781531683$$
$$x_{5} = 51851.8199267158$$
$$x_{6} = 31412.329709848$$
$$x_{7} = 35744.0115060314$$
$$x_{8} = 37903.2480218502$$
$$x_{9} = 45430.8958435694$$
$$x_{10} = 30326.3911846459$$
$$x_{11} = 55052.9972613521$$
$$x_{12} = 25968.9033177281$$
$$x_{13} = 44358.1013217207$$
$$x_{14} = 42210.0395553584$$
$$x_{15} = 49714.3880834821$$
$$x_{16} = 48644.6238402541$$
$$x_{17} = 56118.7975727972$$
$$x_{18} = 32497.0114083197$$
$$x_{19} = 29239.1407679828$$
$$x_{20} = 34662.806040084$$
$$x_{21} = 50783.4471314156$$
$$x_{22} = 46502.8991787093$$
$$x_{23} = 28150.5192678596$$
$$x_{24} = 33580.4875709748$$
$$x_{25} = 24875.766350164$$
$$x_{26} = 36824.1457767851$$
$$x_{27} = 47574.1345091235$$
$$x_{28} = 41134.7192039913$$
$$x_{29} = 4.10367163327497$$
$$x_{30} = 27060.4629857123$$
$$x_{31} = 40058.5012222258$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{31} = 4.10367163327497$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.10367163327497\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[4.10367163327497, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{2 x \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 38981.3549927608$$
$$x_{2} = 43284.4911641455$$
$$x_{3} = 52919.5245251102$$
$$x_{4} = 53986.5781531683$$
$$x_{5} = 51851.8199267158$$
$$x_{6} = 31412.329709848$$
$$x_{7} = 35744.0115060314$$
$$x_{8} = 37903.2480218502$$
$$x_{9} = 45430.8958435694$$
$$x_{10} = 30326.3911846459$$
$$x_{11} = 55052.9972613521$$
$$x_{12} = 25968.9033177281$$
$$x_{13} = 44358.1013217207$$
$$x_{14} = 42210.0395553584$$
$$x_{15} = 49714.3880834821$$
$$x_{16} = 48644.6238402541$$
$$x_{17} = 56118.7975727972$$
$$x_{18} = 32497.0114083197$$
$$x_{19} = 29239.1407679828$$
$$x_{20} = 34662.806040084$$
$$x_{21} = 50783.4471314156$$
$$x_{22} = 46502.8991787093$$
$$x_{23} = 28150.5192678596$$
$$x_{24} = 33580.4875709748$$
$$x_{25} = 24875.766350164$$
$$x_{26} = 36824.1457767851$$
$$x_{27} = 47574.1345091235$$
$$x_{28} = 41134.7192039913$$
$$x_{29} = 4.10367163327497$$
$$x_{30} = 27060.4629857123$$
$$x_{31} = 40058.5012222258$$
Signos de extremos en los puntos:
(38981.35499276077, 6.95654306992189e-9)
(43284.49116414545, 5.69801691380945e-9)
(52919.52452511016, 3.88380031107597e-9)
(53986.5781531683, 3.73863937466407e-9)
(51851.819926715754, 4.03781202609854e-9)
(31412.32970984802, 1.04941020854887e-8)
(35744.01150603144, 8.20585485314639e-9)
(37903.24802185019, 7.33838706253326e-9)
(45430.895843569444, 5.19577460614889e-9)
(30326.39118464593, 1.12208545015304e-8)
(55052.99726135207, 3.60165573158086e-9)
(25968.903317728134, 1.50723905498676e-8)
(44358.10132172068, 5.43798626924962e-9)
(42210.0395553584, 5.97768485193706e-9)
(49714.38808348213, 4.37544821893617e-9)
(48644.62384025407, 4.56081565471238e-9)
(56118.79757279718, 3.47223922100043e-9)
(32497.01140831966, 9.8373991108987e-9)
(29239.14076798279, 1.20281508574538e-8)
(34662.80604008395, 8.70018875167475e-9)
(50783.4471314156, 4.20141943307978e-9)
(46502.89917870935, 4.96977081238301e-9)
(28150.51926785962, 1.29285477326305e-8)
(33580.48757097484, 9.24191799244918e-9)
(24875.766350164016, 1.63566704429237e-8)
(36824.145776785095, 7.7534789310404e-9)
(47574.13450912349, 4.75854314064313e-9)
(41134.71920399134, 6.27904862876561e-9)
(4.103671633274968, 0.0579187861370636)
(27060.46298571226, 1.3937173273842e-8)
(40058.50122222583, 6.60444639716675e-9)
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{31} = 4.10367163327497$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.10367163327497\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[4.10367163327497, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 6071.01023484144$$
$$x_{2} = 11457.7934041681$$
$$x_{3} = 8389.2326302733$$
$$x_{4} = 10947.794506398$$
$$x_{5} = 4774.53795376888$$
$$x_{6} = 6329.49150444445$$
$$x_{7} = 8902.21198266958$$
$$x_{8} = 11712.6050001058$$
$$x_{9} = 7103.49489055359$$
$$x_{10} = 7618.38927168963$$
$$x_{11} = 3731.93369295885$$
$$x_{12} = 9926.18944714986$$
$$x_{13} = 13239.0458057272$$
$$x_{14} = 9158.44569193195$$
$$x_{15} = 5812.27213402643$$
$$x_{16} = 3208.88270253872$$
$$x_{17} = 12476.3279951235$$
$$x_{18} = 8645.80960858742$$
$$x_{19} = 12730.6752040025$$
$$x_{20} = 5.25732912343706$$
$$x_{21} = 9670.42925943776$$
$$x_{22} = 2947.09991614243$$
$$x_{23} = 3993.05309993686$$
$$x_{24} = 12221.8691837859$$
$$x_{25} = 3470.52718789121$$
$$x_{26} = 11202.8577400982$$
$$x_{27} = 10181.8016690657$$
$$x_{28} = 10692.6000262794$$
$$x_{29} = 2685.37710645451$$
$$x_{30} = 8132.47475778047$$
$$x_{31} = 4253.86346461448$$
$$x_{32} = 2424.11832916538$$
$$x_{33} = 5293.98276039579$$
$$x_{34} = 6845.72422392653$$
$$x_{35} = 9414.5163485326$$
$$x_{36} = 6587.72621922721$$
$$x_{37} = 11967.2958653726$$
$$x_{38} = 7875.52932636792$$
$$x_{39} = 5553.26657963721$$
$$x_{40} = 10437.2704354797$$
$$x_{41} = 7361.0471051469$$
$$x_{42} = 5034.40994780731$$
$$x_{43} = 12984.913588094$$
$$x_{44} = 4514.35789402867$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 0.5 i \pi \right)}$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 0.5 i \pi \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[5.25732912343706, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 5.25732912343706\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 6071.01023484144$$
$$x_{2} = 11457.7934041681$$
$$x_{3} = 8389.2326302733$$
$$x_{4} = 10947.794506398$$
$$x_{5} = 4774.53795376888$$
$$x_{6} = 6329.49150444445$$
$$x_{7} = 8902.21198266958$$
$$x_{8} = 11712.6050001058$$
$$x_{9} = 7103.49489055359$$
$$x_{10} = 7618.38927168963$$
$$x_{11} = 3731.93369295885$$
$$x_{12} = 9926.18944714986$$
$$x_{13} = 13239.0458057272$$
$$x_{14} = 9158.44569193195$$
$$x_{15} = 5812.27213402643$$
$$x_{16} = 3208.88270253872$$
$$x_{17} = 12476.3279951235$$
$$x_{18} = 8645.80960858742$$
$$x_{19} = 12730.6752040025$$
$$x_{20} = 5.25732912343706$$
$$x_{21} = 9670.42925943776$$
$$x_{22} = 2947.09991614243$$
$$x_{23} = 3993.05309993686$$
$$x_{24} = 12221.8691837859$$
$$x_{25} = 3470.52718789121$$
$$x_{26} = 11202.8577400982$$
$$x_{27} = 10181.8016690657$$
$$x_{28} = 10692.6000262794$$
$$x_{29} = 2685.37710645451$$
$$x_{30} = 8132.47475778047$$
$$x_{31} = 4253.86346461448$$
$$x_{32} = 2424.11832916538$$
$$x_{33} = 5293.98276039579$$
$$x_{34} = 6845.72422392653$$
$$x_{35} = 9414.5163485326$$
$$x_{36} = 6587.72621922721$$
$$x_{37} = 11967.2958653726$$
$$x_{38} = 7875.52932636792$$
$$x_{39} = 5553.26657963721$$
$$x_{40} = 10437.2704354797$$
$$x_{41} = 7361.0471051469$$
$$x_{42} = 5034.40994780731$$
$$x_{43} = 12984.913588094$$
$$x_{44} = 4514.35789402867$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 0.5 i \pi \right)}$$
$$\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 0.5 i \pi \right)}$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = -2$$
- es el punto de flexión
$$\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = -\infty$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{2} = 2$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[5.25732912343706, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 5.25732912343706\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = 2$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x - 2)/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = - \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}$$
- No
$$\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = - \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar