Sr Examen

Otras calculadoras

Trazado el gráfico de la función/ log(x-2)/(x^2-4)

Gráfico de la función y = log(x-2)/(x^2-4)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       log(x - 2)
f(x) = ----------
          2      
         x  - 4
f(x)=log⁡(x−2)x2−4f{\left(x \right)} = \frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} 
f = log(x - 2)/(x^2 - 4)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2010
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
log⁡(x−2)x2−4=0\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=3x_{1} = 3
Solución numérica
x1=3x_{1} = 3
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en log(x - 2)/(x^2 - 4).
log⁡(−2)−4+02\frac{\log{\left(-2 \right)}}{-4 + 0^{2}}
Resultado:
f(0)=−log⁡(2)4−iπ4f{\left(0 \right)} = - \frac{\log{\left(2 \right)}}{4} - \frac{i \pi}{4}
Punto:
(0, -log(2)/4 - pi*i/4)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2xlog⁡(x−2)(x2−4)2+1(x−2)(x2−4)=0- \frac{2 x \log{\left(x - 2 \right)}}{\left(x^{2} - 4\right)^{2}} + \frac{1}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=38981.3549927608x_{1} = 38981.3549927608
x2=43284.4911641455x_{2} = 43284.4911641455
x3=52919.5245251102x_{3} = 52919.5245251102
x4=53986.5781531683x_{4} = 53986.5781531683
x5=51851.8199267158x_{5} = 51851.8199267158
x6=31412.329709848x_{6} = 31412.329709848
x7=35744.0115060314x_{7} = 35744.0115060314
x8=37903.2480218502x_{8} = 37903.2480218502
x9=45430.8958435694x_{9} = 45430.8958435694
x10=30326.3911846459x_{10} = 30326.3911846459
x11=55052.9972613521x_{11} = 55052.9972613521
x12=25968.9033177281x_{12} = 25968.9033177281
x13=44358.1013217207x_{13} = 44358.1013217207
x14=42210.0395553584x_{14} = 42210.0395553584
x15=49714.3880834821x_{15} = 49714.3880834821
x16=48644.6238402541x_{16} = 48644.6238402541
x17=56118.7975727972x_{17} = 56118.7975727972
x18=32497.0114083197x_{18} = 32497.0114083197
x19=29239.1407679828x_{19} = 29239.1407679828
x20=34662.806040084x_{20} = 34662.806040084
x21=50783.4471314156x_{21} = 50783.4471314156
x22=46502.8991787093x_{22} = 46502.8991787093
x23=28150.5192678596x_{23} = 28150.5192678596
x24=33580.4875709748x_{24} = 33580.4875709748
x25=24875.766350164x_{25} = 24875.766350164
x26=36824.1457767851x_{26} = 36824.1457767851
x27=47574.1345091235x_{27} = 47574.1345091235
x28=41134.7192039913x_{28} = 41134.7192039913
x29=4.10367163327497x_{29} = 4.10367163327497
x30=27060.4629857123x_{30} = 27060.4629857123
x31=40058.5012222258x_{31} = 40058.5012222258
Signos de extremos en los puntos:
(38981.35499276077, 6.95654306992189e-9)

(43284.49116414545, 5.69801691380945e-9)

(52919.52452511016, 3.88380031107597e-9)

(53986.5781531683, 3.73863937466407e-9)

(51851.819926715754, 4.03781202609854e-9)

(31412.32970984802, 1.04941020854887e-8)

(35744.01150603144, 8.20585485314639e-9)

(37903.24802185019, 7.33838706253326e-9)

(45430.895843569444, 5.19577460614889e-9)

(30326.39118464593, 1.12208545015304e-8)

(55052.99726135207, 3.60165573158086e-9)

(25968.903317728134, 1.50723905498676e-8)

(44358.10132172068, 5.43798626924962e-9)

(42210.0395553584, 5.97768485193706e-9)

(49714.38808348213, 4.37544821893617e-9)

(48644.62384025407, 4.56081565471238e-9)

(56118.79757279718, 3.47223922100043e-9)

(32497.01140831966, 9.8373991108987e-9)

(29239.14076798279, 1.20281508574538e-8)

(34662.80604008395, 8.70018875167475e-9)

(50783.4471314156, 4.20141943307978e-9)

(46502.89917870935, 4.96977081238301e-9)

(28150.51926785962, 1.29285477326305e-8)

(33580.48757097484, 9.24191799244918e-9)

(24875.766350164016, 1.63566704429237e-8)

(36824.145776785095, 7.7534789310404e-9)

(47574.13450912349, 4.75854314064313e-9)

(41134.71920399134, 6.27904862876561e-9)

(4.103671633274968, 0.0579187861370636)

(27060.46298571226, 1.3937173273842e-8)

(40058.50122222583, 6.60444639716675e-9)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x31=4.10367163327497x_{31} = 4.10367163327497
Decrece en los intervalos
(−∞,4.10367163327497]\left(-\infty, 4.10367163327497\right]
Crece en los intervalos
[4.10367163327497,∞)\left[4.10367163327497, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−4x(x−2)(x2−4)+2(4x2x2−4−1)log⁡(x−2)x2−4−1(x−2)2x2−4=0\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=6071.01023484144x_{1} = 6071.01023484144
x2=11457.7934041681x_{2} = 11457.7934041681
x3=8389.2326302733x_{3} = 8389.2326302733
x4=10947.794506398x_{4} = 10947.794506398
x5=4774.53795376888x_{5} = 4774.53795376888
x6=6329.49150444445x_{6} = 6329.49150444445
x7=8902.21198266958x_{7} = 8902.21198266958
x8=11712.6050001058x_{8} = 11712.6050001058
x9=7103.49489055359x_{9} = 7103.49489055359
x10=7618.38927168963x_{10} = 7618.38927168963
x11=3731.93369295885x_{11} = 3731.93369295885
x12=9926.18944714986x_{12} = 9926.18944714986
x13=13239.0458057272x_{13} = 13239.0458057272
x14=9158.44569193195x_{14} = 9158.44569193195
x15=5812.27213402643x_{15} = 5812.27213402643
x16=3208.88270253872x_{16} = 3208.88270253872
x17=12476.3279951235x_{17} = 12476.3279951235
x18=8645.80960858742x_{18} = 8645.80960858742
x19=12730.6752040025x_{19} = 12730.6752040025
x20=5.25732912343706x_{20} = 5.25732912343706
x21=9670.42925943776x_{21} = 9670.42925943776
x22=2947.09991614243x_{22} = 2947.09991614243
x23=3993.05309993686x_{23} = 3993.05309993686
x24=12221.8691837859x_{24} = 12221.8691837859
x25=3470.52718789121x_{25} = 3470.52718789121
x26=11202.8577400982x_{26} = 11202.8577400982
x27=10181.8016690657x_{27} = 10181.8016690657
x28=10692.6000262794x_{28} = 10692.6000262794
x29=2685.37710645451x_{29} = 2685.37710645451
x30=8132.47475778047x_{30} = 8132.47475778047
x31=4253.86346461448x_{31} = 4253.86346461448
x32=2424.11832916538x_{32} = 2424.11832916538
x33=5293.98276039579x_{33} = 5293.98276039579
x34=6845.72422392653x_{34} = 6845.72422392653
x35=9414.5163485326x_{35} = 9414.5163485326
x36=6587.72621922721x_{36} = 6587.72621922721
x37=11967.2958653726x_{37} = 11967.2958653726
x38=7875.52932636792x_{38} = 7875.52932636792
x39=5553.26657963721x_{39} = 5553.26657963721
x40=10437.2704354797x_{40} = 10437.2704354797
x41=7361.0471051469x_{41} = 7361.0471051469
x42=5034.40994780731x_{42} = 5034.40994780731
x43=12984.913588094x_{43} = 12984.913588094
x44=4514.35789402867x_{44} = 4514.35789402867
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2

lim⁡x→−2−(−4x(x−2)(x2−4)+2(4x2x2−4−1)log⁡(x−2)x2−4−1(x−2)2x2−4)=∞sign⁡(0.693147180559945+0.5iπ)\lim_{x \to -2^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 0.5 i \pi \right)}
lim⁡x→−2+(−4x(x−2)(x2−4)+2(4x2x2−4−1)log⁡(x−2)x2−4−1(x−2)2x2−4)=−∞sign⁡(0.693147180559945+0.5iπ)\lim_{x \to -2^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(0.693147180559945 + 0.5 i \pi \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=−2x_{1} = -2
- es el punto de flexión
lim⁡x→2−(−4x(x−2)(x2−4)+2(4x2x2−4−1)log⁡(x−2)x2−4−1(x−2)2x2−4)=∞\lim_{x \to 2^-}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = \infty
lim⁡x→2+(−4x(x−2)(x2−4)+2(4x2x2−4−1)log⁡(x−2)x2−4−1(x−2)2x2−4)=−∞\lim_{x \to 2^+}\left(\frac{- \frac{4 x}{\left(x - 2\right) \left(x^{2} - 4\right)} + \frac{2 \left(\frac{4 x^{2}}{x^{2} - 4} - 1\right) \log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} - \frac{1}{\left(x - 2\right)^{2}}}{x^{2} - 4}\right) = -\infty
- los límites no son iguales, signo
x2=2x_{2} = 2
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[5.25732912343706,∞)\left[5.25732912343706, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,5.25732912343706]\left(-\infty, 5.25732912343706\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−2x_{1} = -2
x2=2x_{2} = 2
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−2)x2−4)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(log⁡(x−2)x2−4)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función log(x - 2)/(x^2 - 4), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x−2)x(x2−4))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x−2)x(x2−4))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x \left(x^{2} - 4\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
log⁡(x−2)x2−4=log⁡(−x−2)x2−4\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}
- No
log⁡(x−2)x2−4=−log⁡(−x−2)x2−4\frac{\log{\left(x - 2 \right)}}{x^{2} - 4} = - \frac{\log{\left(- x - 2 \right)}}{x^{2} - 4}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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