Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ xsqrt(x)/4-x

Gráfico de la función y = xsqrt(x)/4-x

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
           ___    
       x*\/ x     
f(x) = ------- - x
          4
f(x)=−x+xx4f{\left(x \right)} = - x + \frac{\sqrt{x} x}{4} 
f = -x + (sqrt(x)*x)/4
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2.50.0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
−x+xx4=0- x + \frac{\sqrt{x} x}{4} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=16x_{2} = 16
Solución numérica
x1=0x_{1} = 0
x2=16x_{2} = 16
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en (x*sqrt(x))/4 - x.
004−0\frac{0 \sqrt{0}}{4} - 0
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
3x8−1=0\frac{3 \sqrt{x}}{8} - 1 = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=649x_{1} = \frac{64}{9}
Signos de extremos en los puntos:
       -64  
(64/9, ----)
        27


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=649x_{1} = \frac{64}{9}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[649,∞)\left[\frac{64}{9}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,649]\left(-\infty, \frac{64}{9}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
316x=0\frac{3}{16 \sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga flexiones
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(−x+xx4)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(- x + \frac{\sqrt{x} x}{4}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+xx4)=∞\lim_{x \to \infty}\left(- x + \frac{\sqrt{x} x}{4}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función (x*sqrt(x))/4 - x, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(−x+xx4x)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{- x + \frac{\sqrt{x} x}{4}}{x}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(−x+xx4x)=∞\lim_{x \to \infty}\left(\frac{- x + \frac{\sqrt{x} x}{4}}{x}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
−x+xx4=−x−x4+x- x + \frac{\sqrt{x} x}{4} = - \frac{x \sqrt{- x}}{4} + x
- No
−x+xx4=x−x4−x- x + \frac{\sqrt{x} x}{4} = \frac{x \sqrt{- x}}{4} - x
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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