Sr Examen

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x^(1/x)
Trazado el gráfico de la función/ x^(1/x)

Gráfico de la función y = x^(1/x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       x ___
f(x) = \/ x
f(x)=x1xf{\left(x \right)} = x^{\frac{1}{x}} 
f = x^(1/x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-101002
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=0x_{1} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x1x=0x^{\frac{1}{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^(1/x).
0100^{\frac{1}{0}}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
x1x(−log⁡(x)x2+1x2)=0x^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=ex_{1} = e
Signos de extremos en los puntos:
     / -1\ 
     \e  / 
(E, e     )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=ex_{1} = e
Decrece en los intervalos
(−∞,e]\left(-\infty, e\right]
Crece en los intervalos
[e,∞)\left[e, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x1x(2log⁡(x)−3+(log⁡(x)−1)2x)x3=0\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=32493.05963509x_{1} = 32493.05963509
x2=52449.4275796145x_{2} = 52449.4275796145
x3=28009.4451941101x_{3} = 28009.4451941101
x4=36956.6362249476x_{4} = 36956.6362249476
x5=54648.8645194423x_{5} = 54648.8645194423
x6=25759.4750752963x_{6} = 25759.4750752963
x7=53549.5263991257x_{7} = 53549.5263991257
x8=45831.7998080343x_{8} = 45831.7998080343
x9=38069.6475342003x_{9} = 38069.6475342003
x10=50246.8751110307x_{10} = 50246.8751110307
x11=31374.1183597028x_{11} = 31374.1183597028
x12=43618.932582736x_{12} = 43618.932582736
x13=26885.164415468x_{13} = 26885.164415468
x14=51348.5500563983x_{14} = 51348.5500563983
x15=4.36777096705602x_{15} = 4.36777096705602
x16=48041.0543039226x_{16} = 48041.0543039226
x17=41402.2587671693x_{17} = 41402.2587671693
x18=55747.4592642109x_{18} = 55747.4592642109
x19=57942.4847067835x_{19} = 57942.4847067835
x20=40292.4295040997x_{20} = 40292.4295040997
x21=34727.2189284023x_{21} = 34727.2189284023
x22=33610.7485850034x_{22} = 33610.7485850034
x23=42511.0842227899x_{23} = 42511.0842227899
x24=30253.89094583x_{24} = 30253.89094583
x25=49144.3832768866x_{25} = 49144.3832768866
x26=24632.3562385126x_{26} = 24632.3562385126
x27=35842.5039425585x_{27} = 35842.5039425585
x28=39181.5686882772x_{28} = 39181.5686882772
x29=44725.8295428241x_{29} = 44725.8295428241
x30=56845.3273080066x_{30} = 56845.3273080066
x31=29132.3439864666x_{31} = 29132.3439864666
x32=46936.8671226986x_{32} = 46936.8671226986
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=0x_{1} = 0

lim⁡x→0−(x1x(2log⁡(x)−3+(log⁡(x)−1)2x)x3)=∞\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty
lim⁡x→0+(x1x(2log⁡(x)−3+(log⁡(x)−1)2x)x3)=0\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = 0
- los límites no son iguales, signo
x1=0x_{1} = 0
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[4.36777096705602,∞)\left[4.36777096705602, \infty\right)
Convexa en los intervalos
(−∞,4.36777096705602]\left(-\infty, 4.36777096705602\right]
Asíntotas verticales
Hay:
x1=0x_{1} = 0
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞x1x=1\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=1y = 1
lim⁡x→∞x1x=1\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=1y = 1
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x1xx)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(x1xx)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x1x=(−x)−1xx^{\frac{1}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}
- No
x1x=−(−x)−1xx^{\frac{1}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = x^(1/x)
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