Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
x+3
2-x
sqrt(2*x)
2*sqrt(x)
x^(1/x)
x^(1/x)
Gráfico de la función y = x^(1/x)
Solución
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{\frac{1}{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
o sea hay que resolver la ecuación:
$$x^{\frac{1}{x}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Solución no hallada,
puede ser que el gráfico no cruce el eje X
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$x^{\frac{1}{x}} \left(- \frac{\log{\left(x \right)}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = e$$
Signos de extremos en los puntos:
/ -1\
\e /
(E, e )Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = e$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, e\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[e, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 32493.05963509$$
$$x_{2} = 52449.4275796145$$
$$x_{3} = 28009.4451941101$$
$$x_{4} = 36956.6362249476$$
$$x_{5} = 54648.8645194423$$
$$x_{6} = 25759.4750752963$$
$$x_{7} = 53549.5263991257$$
$$x_{8} = 45831.7998080343$$
$$x_{9} = 38069.6475342003$$
$$x_{10} = 50246.8751110307$$
$$x_{11} = 31374.1183597028$$
$$x_{12} = 43618.932582736$$
$$x_{13} = 26885.164415468$$
$$x_{14} = 51348.5500563983$$
$$x_{15} = 4.36777096705602$$
$$x_{16} = 48041.0543039226$$
$$x_{17} = 41402.2587671693$$
$$x_{18} = 55747.4592642109$$
$$x_{19} = 57942.4847067835$$
$$x_{20} = 40292.4295040997$$
$$x_{21} = 34727.2189284023$$
$$x_{22} = 33610.7485850034$$
$$x_{23} = 42511.0842227899$$
$$x_{24} = 30253.89094583$$
$$x_{25} = 49144.3832768866$$
$$x_{26} = 24632.3562385126$$
$$x_{27} = 35842.5039425585$$
$$x_{28} = 39181.5686882772$$
$$x_{29} = 44725.8295428241$$
$$x_{30} = 56845.3273080066$$
$$x_{31} = 29132.3439864666$$
$$x_{32} = 46936.8671226986$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4.36777096705602, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.36777096705602\right]$$
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = 32493.05963509$$
$$x_{2} = 52449.4275796145$$
$$x_{3} = 28009.4451941101$$
$$x_{4} = 36956.6362249476$$
$$x_{5} = 54648.8645194423$$
$$x_{6} = 25759.4750752963$$
$$x_{7} = 53549.5263991257$$
$$x_{8} = 45831.7998080343$$
$$x_{9} = 38069.6475342003$$
$$x_{10} = 50246.8751110307$$
$$x_{11} = 31374.1183597028$$
$$x_{12} = 43618.932582736$$
$$x_{13} = 26885.164415468$$
$$x_{14} = 51348.5500563983$$
$$x_{15} = 4.36777096705602$$
$$x_{16} = 48041.0543039226$$
$$x_{17} = 41402.2587671693$$
$$x_{18} = 55747.4592642109$$
$$x_{19} = 57942.4847067835$$
$$x_{20} = 40292.4295040997$$
$$x_{21} = 34727.2189284023$$
$$x_{22} = 33610.7485850034$$
$$x_{23} = 42511.0842227899$$
$$x_{24} = 30253.89094583$$
$$x_{25} = 49144.3832768866$$
$$x_{26} = 24632.3562385126$$
$$x_{27} = 35842.5039425585$$
$$x_{28} = 39181.5686882772$$
$$x_{29} = 44725.8295428241$$
$$x_{30} = 56845.3273080066$$
$$x_{31} = 29132.3439864666$$
$$x_{32} = 46936.8671226986$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}} \left(2 \log{\left(x \right)} - 3 + \frac{\left(\log{\left(x \right)} - 1\right)^{2}}{x}\right)}{x^{3}}\right) = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[4.36777096705602, \infty\right)$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, 4.36777096705602\right]$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to -\infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 1$$
$$\lim_{x \to \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 1$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{x^{\frac{1}{x}}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$x^{\frac{1}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
$$x^{\frac{1}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Pues, comprobamos:
$$x^{\frac{1}{x}} = \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
$$x^{\frac{1}{x}} = - \left(- x\right)^{- \frac{1}{x}}$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico