Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ acos(x-1)/(x+1)

Gráfico de la función y = acos(x-1)/(x+1)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
       acos(x - 1)
f(x) = -----------
          x + 1
f(x)=acos⁡(x−1)x+1f{\left(x \right)} = \frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x + 1} 
f = acos(x - 1)/(x + 1)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.05.0
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
x1=−1x_{1} = -1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
acos⁡(x−1)x+1=0\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=2x_{1} = 2
Solución numérica
x1=2x_{1} = 2
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en acos(x - 1)/(x + 1).
acos⁡(−1)1\frac{\operatorname{acos}{\left(-1 \right)}}{1}
Resultado:
f(0)=πf{\left(0 \right)} = \pi
Punto:
(0, pi)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−acos⁡(x−1)(x+1)2−11−(x−1)2(x+1)=0- \frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 1\right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=4.00758929949227x_{1} = 4.00758929949227
Signos de extremos en los puntos:
(4.007589299492265, 0.352550195401602*I)


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
La función no tiene puntos máximos
No cambia el valor en todo el eje numérico
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2acos⁡(x−1)(x+1)2+21−(x−1)2(x+1)−x−1(1−(x−1)2)32x+1=0\frac{\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 1\right)} - \frac{x - 1}{\left(1 - \left(x - 1\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}{x + 1} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=33942.2062176653x_{1} = 33942.2062176653
x2=48028.7355439006x_{2} = 48028.7355439006
x3=50184.9162396003x_{3} = 50184.9162396003
x4=45869.8192440216x_{4} = 45869.8192440216
x5=38290.5130899447x_{5} = 38290.5130899447
x6=53414.2896221075x_{6} = 53414.2896221075
x7=46949.626097911x_{7} = 46949.626097911
x8=55564.0883628207x_{8} = 55564.0883628207
x9=6.43398154051571x_{9} = 6.43398154051571
x10=31763.1686768084x_{10} = 31763.1686768084
x11=27395.7883569533x_{11} = 27395.7883569533
x12=37204.6525725748x_{12} = 37204.6525725748
x13=49107.1611258386x_{13} = 49107.1611258386
x14=32853.0924783807x_{14} = 32853.0924783807
x15=44789.3013507361x_{15} = 44789.3013507361
x16=39375.5750733786x_{16} = 39375.5750733786
x17=51262.0140870763x_{17} = 51262.0140870763
x18=28488.7150722275x_{18} = 28488.7150722275
x19=43708.0587772588x_{19} = 43708.0587772588
x20=56638.0891529094x_{20} = 56638.0891529094
x21=41543.3456154925x_{21} = 41543.3456154925
x22=40459.8487609246x_{22} = 40459.8487609246
x23=25208.184788616x_{23} = 25208.184788616
x24=35030.5039398818x_{24} = 35030.5039398818
x25=36117.9849583065x_{25} = 36117.9849583065
x26=52338.4676415439x_{26} = 52338.4676415439
x27=42626.0779745997x_{27} = 42626.0779745997
x28=26302.2441663186x_{28} = 26302.2441663186
x29=54489.492475363x_{29} = 54489.492475363
x30=29580.9517447507x_{30} = 29580.9517447507
x31=57711.5064166231x_{31} = 57711.5064166231
x32=30672.4477260594x_{32} = 30672.4477260594
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
x1=−1x_{1} = -1

lim⁡x→−1−(2acos⁡(x−1)(x+1)2+21−(x−1)2(x+1)−x−1(1−(x−1)2)32x+1)=∞sign⁡(−2π+2.63391579384963i)\lim_{x \to -1^-}\left(\frac{\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 1\right)} - \frac{x - 1}{\left(1 - \left(x - 1\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}{x + 1}\right) = \infty \operatorname{sign}{\left(- 2 \pi + 2.63391579384963 i \right)}
lim⁡x→−1+(2acos⁡(x−1)(x+1)2+21−(x−1)2(x+1)−x−1(1−(x−1)2)32x+1)=−∞sign⁡(−2π+2.63391579384963i)\lim_{x \to -1^+}\left(\frac{\frac{2 \operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{\left(x + 1\right)^{2}} + \frac{2}{\sqrt{1 - \left(x - 1\right)^{2}} \left(x + 1\right)} - \frac{x - 1}{\left(1 - \left(x - 1\right)^{2}\right)^{\frac{3}{2}}}}{x + 1}\right) = - \infty \operatorname{sign}{\left(- 2 \pi + 2.63391579384963 i \right)}
- los límites no son iguales, signo
x1=−1x_{1} = -1
- es el punto de flexión

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
x1=−1x_{1} = -1
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(x−1)x+1)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(acos⁡(x−1)x+1)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x + 1}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función acos(x - 1)/(x + 1), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(acos⁡(x−1)x(x+1))=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(acos⁡(x−1)x(x+1))=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x \left(x + 1\right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
acos⁡(x−1)x+1=acos⁡(−x−1)1−x\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x + 1} = \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 1 \right)}}{1 - x}
- No
acos⁡(x−1)x+1=−acos⁡(−x−1)1−x\frac{\operatorname{acos}{\left(x - 1 \right)}}{x + 1} = - \frac{\operatorname{acos}{\left(- x - 1 \right)}}{1 - x}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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