Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$\frac{\left(\frac{1}{3} - \frac{4}{3 x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2} e^{2 x}}{27 x^{4} \left(1 - \frac{e^{2 x}}{9 x^{4}}\right)}\right) e^{x}}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{e^{2 x}}{9 x^{4}}}} = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -106.431117135556$$
$$x_{2} = -49.7831445991754$$
$$x_{3} = -28.4350661579402$$
$$x_{4} = -23.5003698656754$$
$$x_{5} = -20.5956830699969$$
$$x_{6} = -104.421616564132$$
$$x_{7} = -92.3546653495155$$
$$x_{8} = -26.0535460299156$$
$$x_{9} = -62.0461347366183$$
$$x_{10} = -110.448958834733$$
$$x_{11} = -84.2976459024236$$
$$x_{12} = -80.264097899388$$
$$x_{13} = -112.457346401321$$
$$x_{14} = -78.245794017434$$
$$x_{15} = -64.0779000411377$$
$$x_{16} = -41.4838666283422$$
$$x_{17} = -43.5737189147721$$
$$x_{18} = -53.8880520787896$$
$$x_{19} = -120.487802562865$$
$$x_{20} = -114.465406352922$$
$$x_{21} = -88.3276566763473$$
$$x_{22} = -102.41169508833$$
$$x_{23} = -51.8383253506653$$
$$x_{24} = -90.3415071859182$$
$$x_{25} = -94.3671821534264$$
$$x_{26} = -60.0116707726684$$
$$x_{27} = -32.9369683705466$$
$$x_{28} = -35.1130924069297$$
$$x_{29} = -30.717612637722$$
$$x_{30} = -96.3791036675445$$
$$x_{31} = 5.47408589542601$$
$$x_{32} = -47.7215313510272$$
$$x_{33} = -116.473157597282$$
$$x_{34} = -86.3130572392556$$
$$x_{35} = -37.2581238497577$$
$$x_{36} = -100.401323934057$$
$$x_{37} = -68.1345261829453$$
$$x_{38} = -74.2056255776094$$
$$x_{39} = -39.3799305362844$$
$$x_{40} = -82.2813523667947$$
$$x_{41} = -57.9741418885119$$
$$x_{42} = -72.1835194876208$$
$$x_{43} = -118.480617608913$$
$$x_{44} = -98.3904716272336$$
$$x_{45} = -55.9331110383851$$
$$x_{46} = -66.1072760934607$$
$$x_{47} = -76.226340915911$$
$$x_{48} = -45.6522507116913$$
$$x_{49} = -108.44022316145$$
$$x_{50} = -70.1598758511896$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(\frac{\left(\frac{1}{3} - \frac{4}{3 x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2} e^{2 x}}{27 x^{4} \left(1 - \frac{e^{2 x}}{9 x^{4}}\right)}\right) e^{x}}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{e^{2 x}}{9 x^{4}}}}\right) = - \infty i$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(\frac{\left(\frac{1}{3} - \frac{4}{3 x} + \frac{2}{x^{2}} + \frac{\left(1 - \frac{2}{x}\right)^{2} e^{2 x}}{27 x^{4} \left(1 - \frac{e^{2 x}}{9 x^{4}}\right)}\right) e^{x}}{x^{2} \sqrt{1 - \frac{e^{2 x}}{9 x^{4}}}}\right) = - \infty i$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico