Sr Examen

Otras calculadoras

x^2*sqrt(1-x^2)
Trazado el gráfico de la función/ x^2*sqrt(1-x^2)

Gráfico de la función y = x^2*sqrt(1-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
             ________
        2   /      2 
f(x) = x *\/  1 - x
f(x)=x21−x2f{\left(x \right)} = x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} 
f = x^2*sqrt(1 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-10100.00.5
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x21−x2=0x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Solución numérica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*sqrt(1 - x^2).
021−020^{2} \sqrt{1 - 0^{2}}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−x31−x2+2x1−x2=0- \frac{x^{3}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 x \sqrt{1 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−63x_{2} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x3=63x_{3} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

    ___       ___ 
 -\/ 6    2*\/ 3  
(-------, -------)
    3        9    

   ___      ___ 
 \/ 6   2*\/ 3  
(-----, -------)
   3       9


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−63x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{3}
x1=63x_{1} = \frac{\sqrt{6}}{3}
Decrece en los intervalos
(−∞,−63]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{3}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[63,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{3}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
x2(x2x2−1−1)1−x2−4x21−x2+21−x2=0\frac{x^{2} \left(\frac{x^{2}}{x^{2} - 1} - 1\right)}{\sqrt{1 - x^{2}}} - \frac{4 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{2}}} + 2 \sqrt{1 - x^{2}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−34−3312x_{1} = - \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{33}}{12}}
x2=34−3312x_{2} = \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{33}}{12}}
x3=−3312+34x_{3} = - \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}}
x4=3312+34x_{4} = \sqrt{\frac{\sqrt{33}}{12} + \frac{3}{4}}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−34−3312,34−3312]\left[- \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{33}}{12}}, \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{33}}{12}}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−34−3312]∪[34−3312,∞)\left(-\infty, - \sqrt{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{33}}{12}}\right] \cup \left[\sqrt{\frac{3}{4} - \frac{\sqrt{33}}{12}}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x21−x2)=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x21−x2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*sqrt(1 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x1−x2)=−∞i\lim_{x \to -\infty}\left(x \sqrt{1 - x^{2}}\right) = - \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x1−x2)=∞i\lim_{x \to \infty}\left(x \sqrt{1 - x^{2}}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x21−x2=x21−x2x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} = x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}
- Sí
x21−x2=−x21−x2x^{2} \sqrt{1 - x^{2}} = - x^{2} \sqrt{1 - x^{2}}
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2*sqrt(1-x^2)
    © Sr Examen – Калькулятор