Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada$$2 \left(- \frac{81}{\left(81 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(81 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(9 x \right)}}{9 x^{3}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuaciónRaíces de esta ecuación
$$x_{1} = -20306.9806906187$$
$$x_{2} = -10135.9196335187$$
$$x_{3} = -41496.9902886062$$
$$x_{4} = -29630.5679230375$$
$$x_{5} = 32304.6029800118$$
$$x_{6} = 15352.6492373734$$
$$x_{7} = 40780.6207201215$$
$$x_{8} = 19590.6163850381$$
$$x_{9} = 28066.5996931393$$
$$x_{10} = -7593.23419943608$$
$$x_{11} = 12809.8861560252$$
$$x_{12} = -6745.69382886871$$
$$x_{13} = -33868.5729361103$$
$$x_{14} = -10983.4945848577$$
$$x_{15} = -17764.1950102172$$
$$x_{16} = 39085.4163171013$$
$$x_{17} = 6876.91574345507$$
$$x_{18} = -42344.5926790415$$
$$x_{19} = -38106.5815486785$$
$$x_{20} = 25523.8005770257$$
$$x_{21} = -36411.3777522329$$
$$x_{22} = -40649.3879752068$$
$$x_{23} = -18611.7894148028$$
$$x_{24} = 22981.0044732559$$
$$x_{25} = -38954.1835996492$$
$$x_{26} = 22133.4066211342$$
$$x_{27} = 37390.2122833806$$
$$x_{28} = -16069.0093197402$$
$$x_{29} = -27935.3672931142$$
$$x_{30} = 7724.45845333189$$
$$x_{31} = 18743.0209971391$$
$$x_{32} = -15221.4183820231$$
$$x_{33} = 30609.401070022$$
$$x_{34} = 9419.57721268279$$
$$x_{35} = 41628.2230460083$$
$$x_{36} = 34847.4070432487$$
$$x_{37} = -30478.1685655309$$
$$x_{38} = 33999.8055450173$$
$$x_{39} = 33152.2041869241$$
$$x_{40} = 42475.8254481892$$
$$x_{41} = 28914.1999303934$$
$$x_{42} = 10267.1477390264$$
$$x_{43} = 35695.0086716257$$
$$x_{44} = -9288.35004830285$$
$$x_{45} = -37258.9795972209$$
$$x_{46} = -13526.2415202311$$
$$x_{47} = -19459.3846774852$$
$$x_{48} = -31325.7694027183$$
$$x_{49} = 20438.2125080612$$
$$x_{50} = 31457.0019365142$$
$$x_{51} = -11831.0737453919$$
$$x_{52} = 36542.6104210837$$
$$x_{53} = -22002.1746207347$$
$$x_{54} = -34716.1744128929$$
$$x_{55} = 26371.3999907791$$
$$x_{56} = -35563.7760213351$$
$$x_{57} = -16916.601592995$$
$$x_{58} = 13657.4717913528$$
$$x_{59} = -27087.7673467357$$
$$x_{60} = -21154.5773638403$$
$$x_{61} = 29761.8003956757$$
$$x_{62} = 11114.7234226954$$
$$x_{63} = 38237.8142510059$$
$$x_{64} = 24676.201495013$$
$$x_{65} = 16200.2404004995$$
$$x_{66} = -14373.8290167171$$
$$x_{67} = -25392.5683143571$$
$$x_{68} = -28782.9674924602$$
$$x_{69} = -26240.167677873$$
$$x_{70} = -23697.3706346299$$
$$x_{71} = -8440.78745288054$$
$$x_{72} = 21285.8092782484$$
$$x_{73} = 17047.8328661958$$
$$x_{74} = -32173.3704191943$$
$$x_{75} = 23828.602780193$$
$$x_{76} = -22849.7723962432$$
$$x_{77} = 17895.4264490208$$
$$x_{78} = 14505.0596057067$$
$$x_{79} = 8572.01337970272$$
$$x_{80} = -12678.6562684686$$
$$x_{81} = -33020.9716011371$$
$$x_{82} = 27218.9997052428$$
$$x_{83} = 39933.018475391$$
$$x_{84} = -39801.7857437694$$
$$x_{85} = -24544.9692878692$$
$$x_{86} = 11962.3031642513$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
$$\lim_{x \to 0^-}\left(2 \left(- \frac{81}{\left(81 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(81 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(9 x \right)}}{9 x^{3}}\right)\right) = -54$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(2 \left(- \frac{81}{\left(81 x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{x^{2} \left(81 x^{2} + 1\right)} + \frac{\operatorname{atan}{\left(9 x \right)}}{9 x^{3}}\right)\right) = -54$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente
Intervalos de convexidad y concavidad:Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico