Sr Examen
Otras calculadoras
- Gráfico de la función implícita
- Derivadas paso a paso
- Integrales paso a paso
- Gráfico de la función paramétrica
- Gráfico en coordenadas polares
- Superficie especificada paramétricamente
- Superficie dada por la ecuación
- Curva en el espacio especificada paramétricamente
- Superficie de una figura limitada con líneas
- Puntos de cruce de las funciones
-
¿Cómo usar?
- Gráfico de la función y =:
-
x-x^3
-
x^4-x^3
-
x*2
-
x/(x-2)
- Límite de la función:
- 1-cos(1/x)
- Integral de d{x}:
- 1-cos(1/x)
-
Expresiones idénticas
- uno -cos(uno /x)
- 1 menos coseno de (1 dividir por x)
- uno menos coseno de (uno dividir por x)
- 1-cos1/x
- 1-cos(1 dividir por x)
-
Expresiones semejantes
- 1+cos(1/x)
-
Expresiones con funciones
- Coseno cos
- cos(x)+2
- cos(x)/(x^2+1)
- cos(7*x)+cos(3*x)
- cos(x)/2+(-1-x)*exp(x)
- cos(2*x)^(x^(-2))
Gráfico de la función y = 1-cos(1/x)
Solución
Ha introducido
[src]
/1\
f(x) = 1 - cos|-|
\x/
$$f{\left(x \right)} = 1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
f = 1 - cos(1/x)
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2 \pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.159154943091895$$
o sea hay que resolver la ecuación:
$$1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:
Solución analítica
$$x_{1} = \frac{1}{2 \pi}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.159154943091895$$
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\pi}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\pi}, \infty\right)$$
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{\sin{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x^{2}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Signos de extremos en los puntos:
1 (--, 2) pi
Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
$$x_{1} = \frac{1}{\pi}$$
Decrece en los intervalos
$$\left(-\infty, \frac{1}{\pi}\right]$$
Crece en los intervalos
$$\left[\frac{1}{\pi}, \infty\right)$$
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1728.30948622997$$
$$x_{2} = -10886.7271614234$$
$$x_{3} = -7397.65078485226$$
$$x_{4} = 3724.37172736816$$
$$x_{5} = 10702.4279394484$$
$$x_{6} = -6089.26112283023$$
$$x_{7} = 3506.31973323777$$
$$x_{8} = -4562.82951485885$$
$$x_{9} = -10014.4549765932$$
$$x_{10} = -4344.77129946241$$
$$x_{11} = 5468.84004252579$$
$$x_{12} = -7615.71678829324$$
$$x_{13} = 1544.08382506109$$
$$x_{14} = -5217.01018907647$$
$$x_{15} = 1326.13012084789$$
$$x_{16} = 2852.18048814786$$
$$x_{17} = 9394.02076648111$$
$$x_{18} = -4126.71435428679$$
$$x_{19} = -8706.04998202671$$
$$x_{20} = -3036.45826575513$$
$$x_{21} = -2382.34641253713$$
$$x_{22} = 1980.06831995953$$
$$x_{23} = 6777.22287982727$$
$$x_{24} = -2818.4158797084$$
$$x_{25} = -6961.51957250769$$
$$x_{26} = 2634.14196282981$$
$$x_{27} = 7213.35359972748$$
$$x_{28} = 10484.3598310079$$
$$x_{29} = 4378.53861045658$$
$$x_{30} = 3288.2701585224$$
$$x_{31} = 9175.95329827666$$
$$x_{32} = -8924.11714739678$$
$$x_{33} = 10920.4961326302$$
$$x_{34} = 4596.59700962761$$
$$x_{35} = 7431.41938844086$$
$$x_{36} = 8303.68487622058$$
$$x_{37} = 7649.4854303998$$
$$x_{38} = 5032.71688419619$$
$$x_{39} = -1510.33069137687$$
$$x_{40} = -4998.94909118433$$
$$x_{41} = -5653.13449897004$$
$$x_{42} = 6123.0294019367$$
$$x_{43} = 6995.28808794494$$
$$x_{44} = -4780.88882660632$$
$$x_{45} = 5904.96575692001$$
$$x_{46} = -10450.5908866988$$
$$x_{47} = 6559.15800566404$$
$$x_{48} = -9796.38717349232$$
$$x_{49} = 4160.48145172456$$
$$x_{50} = -6307.32515246242$$
$$x_{51} = -1292.38283163016$$
$$x_{52} = -9142.18445899447$$
$$x_{53} = -10668.6589812788$$
$$x_{54} = -8269.91613624535$$
$$x_{55} = -7179.58503821156$$
$$x_{56} = -3472.55353426121$$
$$x_{57} = 1762.06641001527$$
$$x_{58} = -3690.60517565222$$
$$x_{59} = -3908.6588920217$$
$$x_{60} = -5871.19755389099$$
$$x_{61} = 3942.42573932$$
$$x_{62} = 7867.55170454519$$
$$x_{63} = 8739.81877537654$$
$$x_{64} = 8085.61819208994$$
$$x_{65} = -8487.98297415597$$
$$x_{66} = 5686.90261697445$$
$$x_{67} = -3254.50438518975$$
$$x_{68} = -9578.31948091886$$
$$x_{69} = 6341.09349991192$$
$$x_{70} = 10048.2238904202$$
$$x_{71} = 2416.10916381092$$
$$x_{72} = 4814.65648065893$$
$$x_{73} = -9360.25190659859$$
$$x_{74} = 9830.15607053174$$
$$x_{75} = 8957.88596455289$$
$$x_{76} = -2600.37816709516$$
$$x_{77} = -6743.45441499989$$
$$x_{78} = 5250.77810403946$$
$$x_{79} = 10266.2918127088$$
$$x_{80} = 9612.08836001311$$
$$x_{81} = -6525.38959659195$$
$$x_{82} = -8051.84948210571$$
$$x_{83} = -2164.32241907986$$
$$x_{84} = 8521.75174184478$$
$$x_{85} = -7833.78302708594$$
$$x_{86} = -5435.0720199532$$
$$x_{87} = 2198.08379682573$$
$$x_{88} = -1946.30879913818$$
$$x_{89} = -10232.5228831544$$
$$x_{90} = 3070.22351896922$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$\frac{2 \sin{\left(\frac{1}{x} \right)} + \frac{\cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}}{x^{3}} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = -1728.30948622997$$
$$x_{2} = -10886.7271614234$$
$$x_{3} = -7397.65078485226$$
$$x_{4} = 3724.37172736816$$
$$x_{5} = 10702.4279394484$$
$$x_{6} = -6089.26112283023$$
$$x_{7} = 3506.31973323777$$
$$x_{8} = -4562.82951485885$$
$$x_{9} = -10014.4549765932$$
$$x_{10} = -4344.77129946241$$
$$x_{11} = 5468.84004252579$$
$$x_{12} = -7615.71678829324$$
$$x_{13} = 1544.08382506109$$
$$x_{14} = -5217.01018907647$$
$$x_{15} = 1326.13012084789$$
$$x_{16} = 2852.18048814786$$
$$x_{17} = 9394.02076648111$$
$$x_{18} = -4126.71435428679$$
$$x_{19} = -8706.04998202671$$
$$x_{20} = -3036.45826575513$$
$$x_{21} = -2382.34641253713$$
$$x_{22} = 1980.06831995953$$
$$x_{23} = 6777.22287982727$$
$$x_{24} = -2818.4158797084$$
$$x_{25} = -6961.51957250769$$
$$x_{26} = 2634.14196282981$$
$$x_{27} = 7213.35359972748$$
$$x_{28} = 10484.3598310079$$
$$x_{29} = 4378.53861045658$$
$$x_{30} = 3288.2701585224$$
$$x_{31} = 9175.95329827666$$
$$x_{32} = -8924.11714739678$$
$$x_{33} = 10920.4961326302$$
$$x_{34} = 4596.59700962761$$
$$x_{35} = 7431.41938844086$$
$$x_{36} = 8303.68487622058$$
$$x_{37} = 7649.4854303998$$
$$x_{38} = 5032.71688419619$$
$$x_{39} = -1510.33069137687$$
$$x_{40} = -4998.94909118433$$
$$x_{41} = -5653.13449897004$$
$$x_{42} = 6123.0294019367$$
$$x_{43} = 6995.28808794494$$
$$x_{44} = -4780.88882660632$$
$$x_{45} = 5904.96575692001$$
$$x_{46} = -10450.5908866988$$
$$x_{47} = 6559.15800566404$$
$$x_{48} = -9796.38717349232$$
$$x_{49} = 4160.48145172456$$
$$x_{50} = -6307.32515246242$$
$$x_{51} = -1292.38283163016$$
$$x_{52} = -9142.18445899447$$
$$x_{53} = -10668.6589812788$$
$$x_{54} = -8269.91613624535$$
$$x_{55} = -7179.58503821156$$
$$x_{56} = -3472.55353426121$$
$$x_{57} = 1762.06641001527$$
$$x_{58} = -3690.60517565222$$
$$x_{59} = -3908.6588920217$$
$$x_{60} = -5871.19755389099$$
$$x_{61} = 3942.42573932$$
$$x_{62} = 7867.55170454519$$
$$x_{63} = 8739.81877537654$$
$$x_{64} = 8085.61819208994$$
$$x_{65} = -8487.98297415597$$
$$x_{66} = 5686.90261697445$$
$$x_{67} = -3254.50438518975$$
$$x_{68} = -9578.31948091886$$
$$x_{69} = 6341.09349991192$$
$$x_{70} = 10048.2238904202$$
$$x_{71} = 2416.10916381092$$
$$x_{72} = 4814.65648065893$$
$$x_{73} = -9360.25190659859$$
$$x_{74} = 9830.15607053174$$
$$x_{75} = 8957.88596455289$$
$$x_{76} = -2600.37816709516$$
$$x_{77} = -6743.45441499989$$
$$x_{78} = 5250.77810403946$$
$$x_{79} = 10266.2918127088$$
$$x_{80} = 9612.08836001311$$
$$x_{81} = -6525.38959659195$$
$$x_{82} = -8051.84948210571$$
$$x_{83} = -2164.32241907986$$
$$x_{84} = 8521.75174184478$$
$$x_{85} = -7833.78302708594$$
$$x_{86} = -5435.0720199532$$
$$x_{87} = 2198.08379682573$$
$$x_{88} = -1946.30879913818$$
$$x_{89} = -10232.5228831544$$
$$x_{90} = 3070.22351896922$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$
True
True
- los límites no son iguales, signo
$$x_{1} = 0$$
- es el punto de flexión
Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
No tiene corvaduras en todo el eje numérico
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to -\infty}\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
$$y = 0$$
$$\lim_{x \to \infty}\left(1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
$$y = 0$$
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función 1 - cos(1/x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}}{x}\right) = 0$$
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Sí
$$1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
es
par
Pues, comprobamos:
$$1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = 1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)}$$
- Sí
$$1 - \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} = \cos{\left(\frac{1}{x} \right)} - 1$$
- No
es decir, función
es
par