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Trazado el gráfico de la función/ x^1/2*lnx

Gráfico de la función y = x^1/2*lnx

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
         ___       
f(x) = \/ x *log(x)
f(x)=xlog⁡(x)f{\left(x \right)} = \sqrt{x} \log{\left(x \right)} 
f = sqrt(x)*log(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1010
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
xlog⁡(x)=0\sqrt{x} \log{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=1x_{1} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(x)*log(x).
0log⁡(0)\sqrt{0} \log{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=NaNf{\left(0 \right)} = \text{NaN}
- no hay soluciones de la ecuación
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
log⁡(x)2x+1x=0\frac{\log{\left(x \right)}}{2 \sqrt{x}} + \frac{1}{\sqrt{x}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=e−2x_{1} = e^{-2}
Signos de extremos en los puntos:
  -2      -1 
(e , -2*e  )


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=e−2x_{1} = e^{-2}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[e−2,∞)\left[e^{-2}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,e−2]\left(-\infty, e^{-2}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−log⁡(x)4x32=0- \frac{\log{\left(x \right)}}{4 x^{\frac{3}{2}}} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=1x_{1} = 1

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
(−∞,1]\left(-\infty, 1\right]
Convexa en los intervalos
[1,∞)\left[1, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(xlog⁡(x))=∞i\lim_{x \to -\infty}\left(\sqrt{x} \log{\left(x \right)}\right) = \infty i
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(xlog⁡(x))=∞\lim_{x \to \infty}\left(\sqrt{x} \log{\left(x \right)}\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(x)*log(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(log⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(log⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\log{\left(x \right)}}{\sqrt{x}}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
xlog⁡(x)=−xlog⁡(−x)\sqrt{x} \log{\left(x \right)} = \sqrt{- x} \log{\left(- x \right)}
- No
xlog⁡(x)=−−xlog⁡(−x)\sqrt{x} \log{\left(x \right)} = - \sqrt{- x} \log{\left(- x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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