Sr Examen

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Gráfico de la función y = sqrt(4*x^-8)-4*x^3\2*x-2

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src]
            ____      3      
           / 4     4*x       
f(x) =    /  --  - ----*x - 2
         /    8     2        
       \/    x               
$$f{\left(x \right)} = \left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2$$
f = sqrt(4/x^8) - x*(4*x^3)/2 - 2
Gráfico de la función
Dominio de definición de la función
Puntos en los que la función no está definida exactamente:
$$x_{1} = 0$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
$$\left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2 = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
$$x_{1} = - \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{-1 + \sqrt{5}}}{2}$$
$$x_{2} = \frac{2^{\frac{3}{4}} \sqrt[4]{-1 + \sqrt{5}}}{2}$$
Solución numérica
$$x_{1} = 0.886651779312162$$
$$x_{2} = -0.886651779312162$$
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en sqrt(4/x^8) - (4*x^3)/2*x - 2.
$$-2 + \left(\sqrt{\frac{4}{0}} - 0 \frac{4 \cdot 0^{3}}{2}\right)$$
Resultado:
$$f{\left(0 \right)} = \tilde{\infty}$$
signof no cruza Y
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0$$
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
$$\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = $$
primera derivada
$$- \frac{4 \frac{2}{x^{4}}}{x} - 8 x^{3} = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Soluciones no halladas,
tal vez la función no tenga extremos
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0$$
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
$$\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = $$
segunda derivada
$$8 \left(- 3 x^{2} + \frac{5}{x^{6}}\right) = 0$$
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
$$x_{1} = - \frac{3^{\frac{7}{8}} \sqrt[8]{5}}{3}$$
$$x_{2} = \frac{3^{\frac{7}{8}} \sqrt[8]{5}}{3}$$
Además hay que calcular los límites de y'' para los argumentos tendientes a los puntos de indeterminación de la función:
Puntos donde hay indeterminación:
$$x_{1} = 0$$

$$\lim_{x \to 0^-}\left(8 \left(- 3 x^{2} + \frac{5}{x^{6}}\right)\right) = \infty$$
$$\lim_{x \to 0^+}\left(8 \left(- 3 x^{2} + \frac{5}{x^{6}}\right)\right) = \infty$$
- los límites son iguales, es decir omitimos el punto correspondiente

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
$$\left[- \frac{3^{\frac{7}{8}} \sqrt[8]{5}}{3}, \frac{3^{\frac{7}{8}} \sqrt[8]{5}}{3}\right]$$
Convexa en los intervalos
$$\left(-\infty, - \frac{3^{\frac{7}{8}} \sqrt[8]{5}}{3}\right] \cup \left[\frac{3^{\frac{7}{8}} \sqrt[8]{5}}{3}, \infty\right)$$
Asíntotas verticales
Hay:
$$x_{1} = 0$$
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función sqrt(4/x^8) - (4*x^3)/2*x - 2, dividida por x con x->+oo y x ->-oo
$$\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{\left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2}{x}\right) = \infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
$$\lim_{x \to \infty}\left(\frac{\left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2}{x}\right) = -\infty$$
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
$$\left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2 = \sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - 2 x^{4} - 2$$
- No
$$\left(\sqrt{\frac{4}{x^{8}}} - x \frac{4 x^{3}}{2}\right) - 2 = - \sqrt{\frac{4}{x^{8}}} + 2 x^{4} + 2$$
- No
es decir, función
no es
par ni impar