Sr Examen

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e^(-x)*sin(x)
Trazado el gráfico de la función/ e^(-x)*sin(x)

Gráfico de la función y = e^(-x)*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        -x       
f(x) = E  *sin(x)
f(x)=e−xsin⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(x \right)} 
f = E^(-x)*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-1000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
e−xsin⁡(x)=0e^{- x} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=87.9645943005142x_{1} = 87.9645943005142
x2=31.4159265358979x_{2} = 31.4159265358979
x3=69.1150383789755x_{3} = 69.1150383789755
x4=−21.9911485751286x_{4} = -21.9911485751286
x5=47.1238898038469x_{5} = 47.1238898038469
x6=−15.707963267949x_{6} = -15.707963267949
x7=−12.5663706143592x_{7} = -12.5663706143592
x8=12.5663706143592x_{8} = 12.5663706143592
x9=53.4070751110265x_{9} = 53.4070751110265
x10=106.814150222053x_{10} = 106.814150222053
x11=72.2566310325652x_{11} = 72.2566310325652
x12=−3.14159265358979x_{12} = -3.14159265358979
x13=34.5575191894877x_{13} = 34.5575191894877
x14=6.28318530717959x_{14} = 6.28318530717959
x15=97.3893722612836x_{15} = 97.3893722612836
x16=65.9734457253857x_{16} = 65.9734457253857
x17=0x_{17} = 0
x18=15.707963267949x_{18} = 15.707963267949
x19=−25.1327412287183x_{19} = -25.1327412287183
x20=3.14159265358979x_{20} = 3.14159265358979
x21=−18.8495559215388x_{21} = -18.8495559215388
x22=40.8407044966673x_{22} = 40.8407044966673
x23=18.8495559215388x_{23} = 18.8495559215388
x24=37.6991118430775x_{24} = 37.6991118430775
x25=−6.28318530717959x_{25} = -6.28318530717959
x26=43.9822971502571x_{26} = 43.9822971502571
x27=56.5486677646163x_{27} = 56.5486677646163
x28=25.1327412287183x_{28} = 25.1327412287183
x29=78.5398163397448x_{29} = 78.5398163397448
x30=−28.2743338823081x_{30} = -28.2743338823081
x31=75.398223686155x_{31} = 75.398223686155
x32=59.6902604182061x_{32} = 59.6902604182061
x33=−34.5575191894877x_{33} = -34.5575191894877
x34=81.6814089933346x_{34} = 81.6814089933346
x35=100.530964914873x_{35} = 100.530964914873
x36=−9.42477796076938x_{36} = -9.42477796076938
x37=−31.4159265358979x_{37} = -31.4159265358979
x38=28.2743338823081x_{38} = 28.2743338823081
x39=21.9911485751286x_{39} = 21.9911485751286
x40=62.8318530717959x_{40} = 62.8318530717959
x41=9.42477796076938x_{41} = 9.42477796076938
x42=50.2654824574367x_{42} = 50.2654824574367
x43=94.2477796076938x_{43} = 94.2477796076938
x44=91.106186954104x_{44} = 91.106186954104
x45=84.8230016469244x_{45} = 84.8230016469244
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^(-x)*sin(x).
e−0sin⁡(0)e^{- 0} \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−e−xsin⁡(x)+e−xcos⁡(x)=0- e^{- x} \sin{\left(x \right)} + e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
            -pi  
            ---- 
       ___   4   
 pi  \/ 2 *e     
(--, -----------)
 4        2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
La función no tiene puntos mínimos
Puntos máximos de la función:
x1=π4x_{1} = \frac{\pi}{4}
Decrece en los intervalos
(−∞,π4]\left(-\infty, \frac{\pi}{4}\right]
Crece en los intervalos
[π4,∞)\left[\frac{\pi}{4}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
−2e−xcos⁡(x)=0- 2 e^{- x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=π2x_{1} = \frac{\pi}{2}
x2=3π2x_{2} = \frac{3 \pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[π2,3π2]\left[\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,π2]∪[3π2,∞)\left(-\infty, \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{3 \pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(e−xsin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
lim⁡x→∞(e−xsin⁡(x))=0\lim_{x \to \infty}\left(e^{- x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=0y = 0
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^(-x)*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(e−xsin⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la izquierda:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
lim⁡x→∞(e−xsin⁡(x)x)=0\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{- x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la izquierda
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
e−xsin⁡(x)=−exsin⁡(x)e^{- x} \sin{\left(x \right)} = - e^{x} \sin{\left(x \right)}
- No
e−xsin⁡(x)=exsin⁡(x)e^{- x} \sin{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
Gráfico
Gráfico de la función y = e^(-x)*sin(x)
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