Sr Examen

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Trazado el gráfico de la función/ e^(x)*sin(x)

Gráfico de la función y = e^(x)*sin(x)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        x       
f(x) = E *sin(x)
f(x)=exsin⁡(x)f{\left(x \right)} = e^{x} \sin{\left(x \right)} 
f = E^x*sin(x)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000020000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
exsin⁡(x)=0e^{x} \sin{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=0x_{1} = 0
x2=πx_{2} = \pi
Solución numérica
x1=−50.2654824574367x_{1} = -50.2654824574367
x2=−53.4070751110265x_{2} = -53.4070751110265
x3=−84.8230016469244x_{3} = -84.8230016469244
x4=25.1327412287183x_{4} = 25.1327412287183
x5=−3.14159265358979x_{5} = -3.14159265358979
x6=−6.28318530717959x_{6} = -6.28318530717959
x7=−40.8407044966673x_{7} = -40.8407044966673
x8=−18.8495559215388x_{8} = -18.8495559215388
x9=−75.398223686155x_{9} = -75.398223686155
x10=−9.42477796076938x_{10} = -9.42477796076938
x11=−43.9822971502571x_{11} = -43.9822971502571
x12=31.4159265358979x_{12} = 31.4159265358979
x13=9.42477796076938x_{13} = 9.42477796076938
x14=−69.1150383789755x_{14} = -69.1150383789755
x15=12.5663706143592x_{15} = 12.5663706143592
x16=−37.6991118430775x_{16} = -37.6991118430775
x17=−100.530964914873x_{17} = -100.530964914873
x18=−91.106186954104x_{18} = -91.106186954104
x19=34.5575191894877x_{19} = 34.5575191894877
x20=0x_{20} = 0
x21=−12.5663706143592x_{21} = -12.5663706143592
x22=−78.5398163397448x_{22} = -78.5398163397448
x23=18.8495559215388x_{23} = 18.8495559215388
x24=−94.2477796076938x_{24} = -94.2477796076938
x25=−31.4159265358979x_{25} = -31.4159265358979
x26=−43.40963181907x_{26} = -43.40963181907
x27=−81.6814089933346x_{27} = -81.6814089933346
x28=−65.9734457253857x_{28} = -65.9734457253857
x29=3.14159265358979x_{29} = 3.14159265358979
x30=15.707963267949x_{30} = 15.707963267949
x31=−56.5486677646163x_{31} = -56.5486677646163
x32=−21.9911485751286x_{32} = -21.9911485751286
x33=28.2743338823081x_{33} = 28.2743338823081
x34=−15.707963267949x_{34} = -15.707963267949
x35=−59.6902604182061x_{35} = -59.6902604182061
x36=−62.8318530717959x_{36} = -62.8318530717959
x37=−34.5575191894877x_{37} = -34.5575191894877
x38=−97.3893722612836x_{38} = -97.3893722612836
x39=21.9911485751286x_{39} = 21.9911485751286
x40=−87.9645943005142x_{40} = -87.9645943005142
x41=−72.2566310325652x_{41} = -72.2566310325652
x42=−25.1327412287183x_{42} = -25.1327412287183
x43=−28.2743338823081x_{43} = -28.2743338823081
x44=6.28318530717959x_{44} = 6.28318530717959
x45=−47.1238898038469x_{45} = -47.1238898038469
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en E^x*sin(x).
e0sin⁡(0)e^{0} \sin{\left(0 \right)}
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
exsin⁡(x)+excos⁡(x)=0e^{x} \sin{\left(x \right)} + e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
Signos de extremos en los puntos:
               -pi   
               ----  
          ___   4    
 -pi   -\/ 2 *e      
(----, -------------)
  4          2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=−π4x_{1} = - \frac{\pi}{4}
La función no tiene puntos máximos
Decrece en los intervalos
[−π4,∞)\left[- \frac{\pi}{4}, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,−π4]\left(-\infty, - \frac{\pi}{4}\right]
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2excos⁡(x)=02 e^{x} \cos{\left(x \right)} = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−π2x_{1} = - \frac{\pi}{2}
x2=π2x_{2} = \frac{\pi}{2}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−π2,π2]\left[- \frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−π2]∪[π2,∞)\left(-\infty, - \frac{\pi}{2}\right] \cup \left[\frac{\pi}{2}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(x))=0\lim_{x \to -\infty}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la izquierda:
y=0y = 0
lim⁡x→∞(exsin⁡(x))=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(e^{x} \sin{\left(x \right)}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota horizontal a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩y = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función E^x*sin(x), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(exsin⁡(x)x)=0\lim_{x \to -\infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = 0
Tomamos como el límite
es decir,
la inclinada coincide con la asíntota horizontal a la derecha
lim⁡x→∞(exsin⁡(x)x)=⟨−∞,∞⟩\lim_{x \to \infty}\left(\frac{e^{x} \sin{\left(x \right)}}{x}\right) = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle
Tomamos como el límite
es decir,
ecuación de la asíntota inclinada a la derecha:
y=⟨−∞,∞⟩xy = \left\langle -\infty, \infty\right\rangle x
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
exsin⁡(x)=−e−xsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)} = - e^{- x} \sin{\left(x \right)}
- No
exsin⁡(x)=e−xsin⁡(x)e^{x} \sin{\left(x \right)} = e^{- x} \sin{\left(x \right)}
- No
es decir, función
no es
par ni impar
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