Sr Examen

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x^2*(1-x^2)

  • ¿Cómo usar?

  • Gráfico de la función y =:
  • 5-x 5-x
  • (1-x^3)/x^2 (1-x^3)/x^2
  • x/(x^2-5) x/(x^2-5)
  • 3*x-x^3 3*x-x^3
  • Integral de d{x}:
  • x^2*(1-x^2)
  • Límite de la función:
  • x^2*(1-x^2)

  • Expresiones idénticas

  • x^ dos *(uno -x^ dos)
  • x al cuadrado multiplicar por (1 menos x al cuadrado )
  • x en el grado dos multiplicar por (uno menos x en el grado dos)
  • x2*(1-x2)
  • x2*1-x2
  • x²*(1-x²)
  • x en el grado 2*(1-x en el grado 2)
  • x^2(1-x^2)
  • x2(1-x2)
  • x21-x2
  • x^21-x^2

  • Expresiones semejantes

  • x^2*(1+x^2)
Trazado el gráfico de la función/ x^2*(1-x^2)

Gráfico de la función y = x^2*(1-x^2)

v

Gráfico:

interior superior

Puntos de intersección:

mostrar?

Definida a trozos:

Solución

Ha introducido [src] 
        2 /     2\
f(x) = x *\1 - x /
f(x)=x2(1−x2)f{\left(x \right)} = x^{2} \left(1 - x^{2}\right) 
f = x^2*(1 - x^2)
Gráfico de la función
02468-8-6-4-2-1010-2000010000
Puntos de cruce con el eje de coordenadas X
El gráfico de la función cruce el eje X con f = 0
o sea hay que resolver la ecuación:
x2(1−x2)=0x^{2} \left(1 - x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Puntos de cruce con el eje X:

Solución analítica
x1=−1x_{1} = -1
x2=0x_{2} = 0
x3=1x_{3} = 1
Solución numérica
x1=1x_{1} = 1
x2=−1x_{2} = -1
x3=0x_{3} = 0
Puntos de cruce con el eje de coordenadas Y
El gráfico cruce el eje Y cuando x es igual a 0:
sustituimos x = 0 en x^2*(1 - x^2).
02(1−02)0^{2} \left(1 - 0^{2}\right)
Resultado:
f(0)=0f{\left(0 \right)} = 0
Punto:
(0, 0)
Extremos de la función
Para hallar los extremos hay que resolver la ecuación
ddxf(x)=0\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} = 0
(la derivada es igual a cero),
y las raíces de esta ecuación serán los extremos de esta función:
ddxf(x)=\frac{d}{d x} f{\left(x \right)} =
primera derivada
−2x3+2x(1−x2)=0- 2 x^{3} + 2 x \left(1 - x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=0x_{1} = 0
x2=−22x_{2} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x3=22x_{3} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Signos de extremos en los puntos:
(0, 0)

    ___       
 -\/ 2        
(-------, 1/4)
    2         

   ___      
 \/ 2       
(-----, 1/4)
   2


Intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función:
Hallemos los intervalos donde la función crece y decrece y también los puntos mínimos y máximos de la función, para lo cual miramos cómo se comporta la función en los extremos con desviación mínima del extremo:
Puntos mínimos de la función:
x1=0x_{1} = 0
Puntos máximos de la función:
x1=−22x_{1} = - \frac{\sqrt{2}}{2}
x1=22x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}
Decrece en los intervalos
(−∞,−22]∪[0,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{2}}{2}\right] \cup \left[0, \infty\right)
Crece en los intervalos
(−∞,0]∪[22,∞)\left(-\infty, 0\right] \cup \left[\frac{\sqrt{2}}{2}, \infty\right)
Puntos de flexiones
Hallemos los puntos de flexiones, para eso hay que resolver la ecuación
d2dx2f(x)=0\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} = 0
(la segunda derivada es igual a cero),
las raíces de la ecuación obtenida serán los puntos de flexión para el gráfico de la función indicado:
d2dx2f(x)=\frac{d^{2}}{d x^{2}} f{\left(x \right)} =
segunda derivada
2(1−6x2)=02 \left(1 - 6 x^{2}\right) = 0
Resolvermos esta ecuación
Raíces de esta ecuación
x1=−66x_{1} = - \frac{\sqrt{6}}{6}
x2=66x_{2} = \frac{\sqrt{6}}{6}

Intervalos de convexidad y concavidad:
Hallemos los intervales donde la función es convexa o cóncava, para eso veamos cómo se comporta la función en los puntos de flexiones:
Cóncava en los intervalos
[−66,66]\left[- \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}\right]
Convexa en los intervalos
(−∞,−66]∪[66,∞)\left(-\infty, - \frac{\sqrt{6}}{6}\right] \cup \left[\frac{\sqrt{6}}{6}, \infty\right)
Asíntotas horizontales
Hallemos las asíntotas horizontales mediante los límites de esta función con x->+oo y x->-oo
lim⁡x→−∞(x2(1−x2))=−∞\lim_{x \to -\infty}\left(x^{2} \left(1 - x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la izquierda
lim⁡x→∞(x2(1−x2))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x^{2} \left(1 - x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota horizontal a la derecha
Asíntotas inclinadas
Se puede hallar la asíntota inclinada calculando el límite de la función x^2*(1 - x^2), dividida por x con x->+oo y x ->-oo
lim⁡x→−∞(x(1−x2))=∞\lim_{x \to -\infty}\left(x \left(1 - x^{2}\right)\right) = \infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la izquierda
lim⁡x→∞(x(1−x2))=−∞\lim_{x \to \infty}\left(x \left(1 - x^{2}\right)\right) = -\infty
Tomamos como el límite
es decir,
no hay asíntota inclinada a la derecha
Paridad e imparidad de la función
Comprobemos si la función es par o impar mediante las relaciones f = f(-x) и f = -f(-x).
Pues, comprobamos:
x2(1−x2)=x2(1−x2)x^{2} \left(1 - x^{2}\right) = x^{2} \left(1 - x^{2}\right)
- Sí
x2(1−x2)=−x2(1−x2)x^{2} \left(1 - x^{2}\right) = - x^{2} \left(1 - x^{2}\right)
- No
es decir, función
es
par
Gráfico
Gráfico de la función y = x^2*(1-x^2)
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