sin2x+sqrt3cos2x>=-1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\sqrt{3 \cos{\left(2 x \right)}} + \sin{\left(2 x \right)} \geq -1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sqrt{3 \cos{\left(2 x \right)}} + \sin{\left(2 x \right)} = -1$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
$$x_{2} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \left(\sqrt[3]{2} - \frac{\left(1 + \sqrt{3}\right)^{\frac{2}{3}} \left(1 - \sqrt{3} i\right)^{2}}{4}\right)}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{3}} \left(1 - \sqrt{3} i\right)} \right)}$$
$$x_{3} = \operatorname{atan}{\left(\frac{\sqrt[3]{2} \left(\sqrt[3]{2} - \frac{\left(1 + \sqrt{3}\right)^{\frac{2}{3}} \left(1 + \sqrt{3} i\right)^{2}}{4}\right)}{\sqrt[3]{1 + \sqrt{3}} \left(1 + \sqrt{3} i\right)} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{\pi}{4}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sqrt{3 \cos{\left(2 x \right)}} + \sin{\left(2 x \right)} \geq -1$$
$$\sin{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)} + \sqrt{3 \cos{\left(2 \left(- \frac{\pi}{4} - \frac{1}{10}\right) \right)}} \geq -1$$

                ___   __________      
-cos(1/5) + I*\/ 3 *\/ sin(1/5)  >= -1
      

Entonces
$$x \leq - \frac{\pi}{4}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq - \frac{\pi}{4}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1