Sr Examen

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sin(10x)>=1/2 desigualdades

En la desigualdad la incógnita

Solución

Ha introducido [src]
sin(10*x) >= 1/2
$$\sin{\left(10 x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
sin(10*x) >= 1/2
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$\sin{\left(10 x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\sin{\left(10 x \right)} = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(10 x \right)} = \frac{1}{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$10 x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$10 x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
O
$$10 x = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$10 x = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
, donde n es cualquier número entero
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$10$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{60}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{12}$$
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{60}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{12}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{60}$$
$$x_{2} = \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{12}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{60}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{60}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\sin{\left(10 x \right)} \geq \frac{1}{2}$$
$$\sin{\left(10 \left(\frac{\pi n}{5} - \frac{1}{10} + \frac{\pi}{60}\right) \right)} \geq \frac{1}{2}$$
   /     pi         \       
sin|-1 + -- + 2*pi*n| >= 1/2
   \     6          /       

pero
   /     pi         \      
sin|-1 + -- + 2*pi*n| < 1/2
   \     6          /      

Entonces
$$x \leq \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{60}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{60} \wedge x \leq \frac{\pi n}{5} + \frac{\pi}{12}$$
         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida 2 [src]
 pi  pi 
[--, --]
 60  12 
$$x\ in\ \left[\frac{\pi}{60}, \frac{\pi}{12}\right]$$
x in Interval(pi/60, pi/12)
Respuesta rápida [src]
   /pi            pi\
And|-- <= x, x <= --|
   \60            12/
$$\frac{\pi}{60} \leq x \wedge x \leq \frac{\pi}{12}$$
(pi/60 <= x)∧(x <= pi/12)