(x(2x+1)(5-x))/((x+3)(3x-4))>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x \left(2 x + 1\right) \left(5 - x\right)}{\left(x + 3\right) \left(3 x - 4\right)} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x \left(2 x + 1\right) \left(5 - x\right)}{\left(x + 3\right) \left(3 x - 4\right)} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 5$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 5$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{2} = 0$$
$$x_{3} = 5$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x \left(2 x + 1\right) \left(5 - x\right)}{\left(x + 3\right) \left(3 x - 4\right)} > 0$$
$$\frac{\left(5 - - \frac{3}{5}\right) \frac{\left(-3\right) \left(\frac{\left(-3\right) 2}{5} + 1\right)}{5}}{\left(-4 + \frac{\left(-3\right) 3}{5}\right) \left(- \frac{3}{5} + 3\right)} > 0$$

-7/145 > 0

Entonces
$$x < - \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{1}{2} \wedge x < 0$$

         _____           _____  
        /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > - \frac{1}{2} \wedge x < 0$$
$$x > 5$$