(1-3x)(2x+5)(x-4)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(1 - 3 x\right) \left(2 x + 5\right) \left(x - 4\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(1 - 3 x\right) \left(2 x + 5\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(1 - 3 x\right) \left(2 x + 5\right) \left(x - 4\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 4 = 0$$
$$1 - 3 x = 0$$
$$2 x + 5 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 4$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 4
2.
$$1 - 3 x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- 3 x = -1$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -3

x = -1 / (-3)

Obtenemos la respuesta: x2 = 1/3
3.
$$2 x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$2 x = -5$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

x = -5 / (2)

Obtenemos la respuesta: x3 = -5/2
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = - \frac{5}{2}$$
$$x_{2} = \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5}{2} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(1 - 3 x\right) \left(2 x + 5\right) \left(x - 4\right) \geq 0$$
$$\left(1 - \frac{\left(-13\right) 3}{5}\right) \left(\frac{\left(-13\right) 2}{5} + 5\right) \left(-4 + - \frac{13}{5}\right) \geq 0$$

1452     
---- >= 0
125      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq - \frac{5}{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------•-------•-------•-------
       x3      x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq - \frac{5}{2}$$
$$x \geq \frac{1}{3} \wedge x \leq 4$$