-16/(x+2)^2-5<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-5 - \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-5 - \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$-5 - \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 - contiene un número par -2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{4 i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\frac{1}{4 i \sqrt{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$$
o
$$- \frac{i \left(x + 2\right)}{4} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$- \frac{i \left(x + 2\right)}{4} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i2/4+x/4 = sqrt(5)/5

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-i2/4+x/4 = sqrt5/5

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

-i*(2 + x)/4 = sqrt5/5

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -i*(2 + x)/(4*x)

x = sqrt(5)/5 / (-i*(2 + x)/(4*x))

Obtenemos la respuesta: x = -2 + 4*i*sqrt(5)/5
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

-i2/4+x/4 = -sqrt(5)/5

Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

-i2/4+x/4 = -sqrt5/5

Sumamos los términos semejantes en el miembro izquierdo de la ecuación:

-i*(2 + x)/4 = -sqrt5/5

Dividamos ambos miembros de la ecuación en -i*(2 + x)/(4*x)

x = -sqrt(5)/5 / (-i*(2 + x)/(4*x))

Obtenemos la respuesta: x = -2 - 4*i*sqrt(5)/5
o
$$x_{1} = -2 - \frac{4 \sqrt{5} i}{5}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{4 \sqrt{5} i}{5}$$

Las demás 2 raíces son complejas.
hacemos el cambio:
$$z = x + 2$$
entonces la ecuación será así:
$$\frac{1}{z^{2}} = - \frac{5}{16}$$
Cualquier número complejo se puede presentar que:
$$z = r e^{i p}$$
sustituimos en la ecuación
$$\frac{e^{- 2 i p}}{r^{2}} = - \frac{5}{16}$$
donde
$$r = \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
- módulo del número complejo
Sustituyamos r:
$$e^{- 2 i p} = 1$$
Usando la fórmula de Euler hallemos las raíces para p
$$- i \sin{\left(2 p \right)} + \cos{\left(2 p \right)} = 1$$
es decir
$$\cos{\left(2 p \right)} = 1$$
y
$$- \sin{\left(2 p \right)} = 0$$
entonces
$$p = - \pi N$$
donde N=0,1,2,3,...
Seleccionando los valores de N y sustituyendo p en la fórmula para z
Es decir, la solución será para z:
$$z_{1} = - \frac{4 \sqrt{5} i}{5}$$
$$z_{2} = \frac{4 \sqrt{5} i}{5}$$
hacemos cambio inverso
$$z = x + 2$$
$$x = z - 2$$

$$x_{1} = -2 + \frac{4 \sqrt{5} i}{5}$$
$$x_{2} = -2 - \frac{4 \sqrt{5} i}{5}$$
Descartamos las soluciones complejas:
Esta ecuación no tiene soluciones,
significa que esta desigualdad se cumple siempre o no se cumple nunca
comprobemos
sustituimos con un punto arbitrario, por ejemplo

x0 = 0

$$-5 - \frac{16}{2^{2}} \leq 0$$

-9 <= 0

signo desigualdades se cumple cuando