16/(x+2)^2-5<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-5 + \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-5 + \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$-5 + \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} = 0$$
Ya que la potencia en la ecuación es igual a = -2 - contiene un número par -2 en el numerador, entonces
la ecuación tendrá dos raíces reales.
Extraigamos la raíz de potencia -2 de las dos partes de la ecuación:
Obtenemos:
$$\frac{1}{4 \sqrt{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$$
$$\frac{1}{4 \sqrt{\frac{1}{\left(x + 2\right)^{2}}}} = \frac{-1}{\sqrt{5}}$$
o
$$\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{5}}{5}$$
$$\frac{x}{4} + \frac{1}{2} = - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

1/2 + x/4 = sqrt5/5

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\frac{x}{4} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/4

x = -1/2 + sqrt(5)/5 / (1/4)

Obtenemos la respuesta: x = -2 + 4*sqrt(5)/5
Abrimos los paréntesis en el miembro derecho de la ecuación

1/2 + x/4 = -sqrt5/5

Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$\frac{x}{4} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{5}}{5}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 1/4

x = -1/2 - sqrt(5)/5 / (1/4)

Obtenemos la respuesta: x = -2 - 4*sqrt(5)/5
o
$$x_{1} = -2 - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{2} = -2 + \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$

$$x_{1} = -2 + \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{2} = -2 - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{1} = -2 + \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{2} = -2 - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -2 - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
$$x_{1} = -2 + \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(-2 - \frac{4 \sqrt{5}}{5}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10} - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-5 + \frac{16}{\left(x + 2\right)^{2}} \leq 0$$
$$-5 + \frac{16}{\left(\left(- \frac{21}{10} - \frac{4 \sqrt{5}}{5}\right) + 2\right)^{2}} \leq 0$$

             16            
-5 + -----------------     
                     2     
     /           ___\  <= 0
     |  1    4*\/ 5 |      
     |- -- - -------|      
     \  10      5   /      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -2 - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -2 - \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$
$$x \geq -2 + \frac{4 \sqrt{5}}{5}$$