((x+2)(x+3))/(x-5)≥0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x - 5} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x - 5} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x - 5} = 0$$
denominador
$$x - 5$$
entonces

x no es igual a 5

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x + 2 = 0$$
$$x + 3 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x + 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = -2
2.
$$x + 3 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -3$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -3
pero

x no es igual a 5

$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = -3$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -3$$
$$x_{1} = -2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-3 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{31}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x + 2\right) \left(x + 3\right)}{x - 5} \geq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{31}{10} + 2\right) \left(- \frac{31}{10} + 3\right)}{-5 + - \frac{31}{10}} \geq 0$$

-11      
---- >= 0
810      

pero

-11     
---- < 0
810     

Entonces
$$x \leq -3$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -3 \wedge x \leq -2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1