log2x>=3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\log{\left(2 x \right)} \geq 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\log{\left(2 x \right)} = 3$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\log{\left(2 x \right)} = 3$$
$$\log{\left(2 x \right)} = 3$$
Es la ecuación de la forma:

log(v)=p

Por definición log

v=e^p

entonces
$$2 x = e^{\frac{3}{1}}$$
simplificamos
$$2 x = e^{3}$$
$$x = \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{e^{3}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\log{\left(2 x \right)} \geq 3$$
$$\log{\left(2 \left(- \frac{1}{10} + \frac{e^{3}}{2}\right) \right)} \geq 3$$

   /  1    3\     
log|- - + e | >= 3
   \  5     /     

pero

   /  1    3\    
log|- - + e | < 3
   \  5     /    

Entonces
$$x \leq \frac{e^{3}}{2}$$
no se cumple
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \geq \frac{e^{3}}{2}$$

         _____  
        /
-------•-------
       x1