(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)-360<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) - 360 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) - 360 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) - 360 = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\left(x - 2\right) \left(x + 7\right) \left(x^{2} + 5 x + 24\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$x + 7 = 0$$
$$x^{2} + 5 x + 24 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$x + 7 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -7$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -7
3.
$$x^{2} + 5 x + 24 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 5$$
$$c = 24$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5)^2 - 4 * (1) * (24) = -71

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{71} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{71} i}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -7$$
$$x_{3} = - \frac{5}{2} + \frac{\sqrt{71} i}{2}$$
$$x_{4} = - \frac{5}{2} - \frac{\sqrt{71} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = -7$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -7$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-7 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{71}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x + 1\right) \left(x + 2\right) \left(x + 3\right) \left(x + 4\right) - 360 \leq 0$$
$$-360 + \left(- \frac{71}{10} + 1\right) \left(- \frac{71}{10} + 2\right) \left(- \frac{71}{10} + 3\right) \left(- \frac{71}{10} + 4\right) \leq 0$$

354081     
------ <= 0
10000      

pero

354081     
------ >= 0
10000      

Entonces
$$x \leq -7$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -7 \wedge x \leq 2$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1