|x-5|+|x-6|+|x-7|>15 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left|{x - 6}\right| + \left|{x - 5}\right|\right) + \left|{x - 7}\right| > 15$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left|{x - 6}\right| + \left|{x - 5}\right|\right) + \left|{x - 7}\right| = 15$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x - 7 \geq 0$$
$$x - 6 \geq 0$$
$$x - 5 \geq 0$$
o
$$7 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(x - 7\right) + \left(x - 6\right) + \left(x - 5\right) - 15 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 33 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 11$$

2.
$$x - 7 \geq 0$$
$$x - 6 \geq 0$$
$$x - 5 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x - 7 \geq 0$$
$$x - 6 < 0$$
$$x - 5 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x - 7 \geq 0$$
$$x - 6 < 0$$
$$x - 5 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

5.
$$x - 7 < 0$$
$$x - 6 \geq 0$$
$$x - 5 \geq 0$$
o
$$6 \leq x \wedge x < 7$$
obtenemos la ecuación
$$\left(7 - x\right) + \left(x - 6\right) + \left(x - 5\right) - 15 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x - 19 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = 19$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

6.
$$x - 7 < 0$$
$$x - 6 \geq 0$$
$$x - 5 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

7.
$$x - 7 < 0$$
$$x - 6 < 0$$
$$x - 5 \geq 0$$
o
$$5 \leq x \wedge x < 6$$
obtenemos la ecuación
$$\left(6 - x\right) + \left(7 - x\right) + \left(x - 5\right) - 15 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x - 7 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -7$$
pero x3 no satisface a la desigualdad

8.
$$x - 7 < 0$$
$$x - 6 < 0$$
$$x - 5 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 5$$
obtenemos la ecuación
$$\left(5 - x\right) + \left(6 - x\right) + \left(7 - x\right) - 15 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 - 3 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{4} = 1$$


$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 11$$
$$x_{2} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 1$$
$$x_{1} = 11$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 1$$
=
$$\frac{9}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left|{x - 6}\right| + \left|{x - 5}\right|\right) + \left|{x - 7}\right| > 15$$
$$\left|{-7 + \frac{9}{10}}\right| + \left(\left|{-5 + \frac{9}{10}}\right| + \left|{-6 + \frac{9}{10}}\right|\right) > 15$$

153     
--- > 15
 10     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < 1$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < 1$$
$$x > 11$$