Sr Examen
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¿Cómo usar?
- Desigualdades:
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4+12x>7+13x
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x-4x^2/x-1>0
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1/4x>1
-
x+2<5x-2(x-3)
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Expresiones idénticas
- dos sin(x/ dos +π/ cuatro)≤√2
- 2 seno de (x dividir por 2 más π dividir por 4)≤√2
- dos seno de (x dividir por dos más π dividir por cuatro)≤√2
- 2sinx/2+π/4≤√2
- 2sin(x dividir por 2+π dividir por 4)≤√2
-
Expresiones semejantes
- 2sin(x/2-π/4)≤√2
2sin(x/2+π/4)≤√2 desigualdades
Solución
Ha introducido
[src]
/x pi\ ___
2*sin|- + --| <= \/ 2
\2 4 /
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
2*sin(x/2 + pi/4) <= sqrt(2)
Solución detallada
Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
$$2 \sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10}}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 4 \pi n$$
Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 4 \pi n$$
$$x \geq 4 \pi n + \pi$$
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2
La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
$$2 \sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10}}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
/ 1 pi \ ___
2*sin|- -- + -- + 2*pi*n| <= \/ 2
\ 20 4 / significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 4 \pi n$$
_____ _____
\ /
-------•-------•-------
x1 x2Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 4 \pi n$$
$$x \geq 4 \pi n + \pi$$
Solución de la desigualdad en el gráfico
Respuesta rápida
[src]
Or(And(pi <= x, x <= 4*pi), x = 0)
$$\left(\pi \leq x \wedge x \leq 4 \pi\right) \vee x = 0$$
(x = 0))∨((pi <= x)∧(x <= 4*pi)
Respuesta rápida 2
[src]
{0} U [pi, 4*pi]
$$x\ in\ \left\{0\right\} \cup \left[\pi, 4 \pi\right]$$
x in Union(FiniteSet(0), Interval(pi, 4*pi))
Gráfico