2sin(x/2+π/4)≤√2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2}$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \sqrt{2}$$
es la ecuación trigonométrica más simple

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2

La ecuación se convierte en
$$\sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$
Esta ecuación se reorganiza en
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{2}}{2} \right)} + \pi$$
O
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{\pi}{4}$$
$$\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} = 2 \pi n + \frac{3 \pi}{4}$$
, donde n es cualquier número entero
Transportemos
$$\frac{\pi}{4}$$
al miembro derecho de la ecuación
con el signo opuesto, en total:
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n$$
$$\frac{x}{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{2}$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación obtenida en
$$\frac{1}{2}$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 4 \pi n$$
$$x_{2} = 4 \pi n + \pi$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n + - \frac{1}{10}$$
=
$$4 \pi n - \frac{1}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sin{\left(\frac{x}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$
$$2 \sin{\left(\frac{4 \pi n - \frac{1}{10}}{2} + \frac{\pi}{4} \right)} \leq \sqrt{2}$$

     /  1    pi         \      ___
2*sin|- -- + -- + 2*pi*n| <= \/ 2 
     \  20   4          /    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq 4 \pi n$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq 4 \pi n$$
$$x \geq 4 \pi n + \pi$$