((x^2+2x-8)(x-2))/(x+7)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x + 7} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x + 7} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x + 7} = 0$$
denominador
$$x + 7$$
entonces

x no es igual a -7

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 2 = 0$$
$$x^{2} + 2 x - 8 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 2 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 2$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 2
3.
$$x^{2} + 2 x - 8 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{2} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{3} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = -8$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (-8) = 36

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x2 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x3 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -4$$
pero

x no es igual a -7

$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = 2$$
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{3} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{3} = -4$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{3}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{3} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(\left(x^{2} + 2 x\right) - 8\right)}{x + 7} \leq 0$$
$$\frac{\left(-8 + \left(\frac{\left(-41\right) 2}{10} + \left(- \frac{41}{10}\right)^{2}\right)\right) \left(- \frac{41}{10} - 2\right)}{- \frac{41}{10} + 7} \leq 0$$

-3721      
------ <= 0
 2900      

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -4$$

 _____           _____          
      \         /
-------•-------•-------
       x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -4$$
$$x \geq 2$$