x+1/(6x+5)(x-2) desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x + \frac{x - 2}{6 x + 5} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x + \frac{x - 2}{6 x + 5} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x + \frac{x - 2}{6 x + 5} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
5 + 6*x
obtendremos:
$$\left(x + \frac{x - 2}{6 x + 5}\right) \left(6 x + 5\right) = 0$$
$$x \left(6 x + 5\right) + x - 2 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 6$$
$$b = 6$$
$$c = -2$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(6)^2 - 4 * (6) * (-2) = 84

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{6}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x + \frac{x - 2}{6 x + 5} > 0$$
$$\left(- \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{3}{5}\right) + \frac{-2 + \left(- \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{3}{5}\right)}{6 \left(- \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{3}{5}\right) + 5} > 0$$

                        ____    
                 13   \/ 21     
        ____   - -- - ------    
  3   \/ 21      5      6       
- - - ------ + ------------- > 0
  5     6        7     ____     
                 - - \/ 21      
                 5              
    

Entonces
$$x < - \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\sqrt{21}}{6} - \frac{1}{2} \wedge x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{21}}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1