2*4^(cosx)-3*2^(cosx)+1>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(- 3 \cdot 2^{\cos{\left(x \right)}} + 2 \cdot 4^{\cos{\left(x \right)}}\right) + 1 > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(- 3 \cdot 2^{\cos{\left(x \right)}} + 2 \cdot 4^{\cos{\left(x \right)}}\right) + 1 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(- 3 \cdot 2^{\cos{\left(x \right)}} + 2 \cdot 4^{\cos{\left(x \right)}}\right) + 1 = 0$$
cambiamos
$$2^{2 \cos{\left(x \right)} + 1} - 3 \cdot 2^{\cos{\left(x \right)}} + 1 = 0$$
$$\left(- 3 \cdot 2^{\cos{\left(x \right)}} + 2 \cdot 4^{\cos{\left(x \right)}}\right) + 1 = 0$$
Sustituimos
$$w = \cos{\left(x \right)}$$
$$- 3 \cdot 2^{w} + 2 \cdot 4^{w} + 1 = 0$$
o
$$- 3 \cdot 2^{w} + 2 \cdot 4^{w} + 1 = 0$$
Sustituimos
$$v = 2^{w}$$
obtendremos
$$2 v^{2} - 3 v + 1 = 0$$
o
$$2 v^{2} - 3 v + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*v^2 + b*v + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$v_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$v_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2$$
$$b = -3$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (2) * (1) = 1

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

v1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

v2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$v_{1} = 1$$
$$v_{2} = \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$2^{w} = v$$
o
$$w = \frac{\log{\left(v \right)}}{\log{\left(2 \right)}}$$
Entonces la respuesta definitiva es
$$w_{1} = \frac{\log{\left(1 \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = 0$$
$$w_{2} = \frac{\log{\left(\frac{1}{2} \right)}}{\log{\left(2 \right)}} = -1$$
hacemos cambio inverso
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\cos{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
O
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)}$$
$$x = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w \right)} - \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{1} = \pi n + \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{2} = \pi n + \pi$$
$$x_{3} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{1} \right)} - \pi$$
$$x_{3} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(0 \right)}$$
$$x_{3} = \pi n - \frac{\pi}{2}$$
$$x_{4} = \pi n + \operatorname{acos}{\left(w_{2} \right)} - \pi$$
$$x_{4} = \pi n - \pi + \operatorname{acos}{\left(-1 \right)}$$
$$x_{4} = \pi n$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{2}$$
$$x_{2} = \pi$$
$$x_{3} = \frac{3 \pi}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(- 3 \cdot 2^{\cos{\left(x \right)}} + 2 \cdot 4^{\cos{\left(x \right)}}\right) + 1 > 0$$
$$\left(- 3 \cdot 2^{\cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right)}} + 2 \cdot 4^{\cos{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{2} \right)}}\right) + 1 > 0$$

       sin(1/10)      sin(1/10)    
1 - 3*2          + 2*4          > 0
    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{\pi}{2}$$

 _____           _____          
      \         /     \    
-------ο-------ο-------ο-------
       x1      x2      x3

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{\pi}{2}$$
$$x > \pi \wedge x < \frac{3 \pi}{2}$$