1/x+1+1/3-x<1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- x + \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) < 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- x + \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$- x + \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) = 1$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y x
obtendremos:
$$x \left(- x + \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right)\right) = x$$
$$- x^{2} + \frac{4 x}{3} + 1 = x$$
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$- x^{2} + \frac{4 x}{3} + 1 = x$$
en
$$- x^{2} + \frac{x}{3} + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -1$$
$$b = \frac{1}{3}$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1/3)^2 - 4 * (-1) * (1) = 37/9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{37}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}$$
$$x_{1} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{37}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}$$
$$x_{1} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{37}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{37}}{6}$$
$$x_{2} = \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(\frac{1}{6} - \frac{\sqrt{37}}{6}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{1}{15} - \frac{\sqrt{37}}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- x + \left(\left(1 + \frac{1}{x}\right) + \frac{1}{3}\right) < 1$$
$$\left(\left(\frac{1}{\frac{1}{15} - \frac{\sqrt{37}}{6}} + 1\right) + \frac{1}{3}\right) - \left(\frac{1}{15} - \frac{\sqrt{37}}{6}\right) < 1$$

                     ____    
19        1        \/ 37     
-- + ----------- + ------    
15          ____     6    < 1
     1    \/ 37              
     -- - ------             
     15     6                

pero

                     ____    
19        1        \/ 37     
-- + ----------- + ------    
15          ____     6    > 1
     1    \/ 37              
     -- - ------             
     15     6                

Entonces
$$x < \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{37}}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{1}{6} - \frac{\sqrt{37}}{6} \wedge x < \frac{1}{6} + \frac{\sqrt{37}}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x1      x2