(x+2)^2(x-1)(2x+3)/x(2x+1)=>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x} \left(2 x + 1\right) \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x} \left(2 x + 1\right) = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{4} = 1$$
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{4} = 1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -2$$
$$x_{2} = - \frac{3}{2}$$
$$x_{3} = - \frac{1}{2}$$
$$x_{4} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-2 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{21}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 2\right)^{2} \left(2 x + 3\right)}{x} \left(2 x + 1\right) \geq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{21}{10} - 1\right) \left(- \frac{21}{10} + 2\right)^{2} \left(\frac{\left(-21\right) 2}{10} + 3\right)}{- \frac{21}{10}} \left(\frac{\left(-21\right) 2}{10} + 1\right) \geq 0$$

248      
---- >= 0
4375     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \leq -2$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------•-------•-------•-------•-------
       x1      x2      x3      x4

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x \leq -2$$
$$x \geq - \frac{3}{2} \wedge x \leq - \frac{1}{2}$$
$$x \geq 1$$