(x+2)(x-3)/x-7>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$-7 + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$-7 + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$-7 + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x} = 0$$
cambiamos:
Saquemos el factor común fuera de paréntesis
$$\frac{x^{2} - 8 x - 6}{x} = 0$$
denominador
$$x$$
entonces

x no es igual a 0

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 8 x - 6 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
2.
$$x^{2} - 8 x - 6 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -8$$
$$c = -6$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (1) * (-6) = 88

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 4 + \sqrt{22}$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{22}$$
pero

x no es igual a 0

$$x_{1} = 4 + \sqrt{22}$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{22}$$
$$x_{1} = 4 + \sqrt{22}$$
$$x_{2} = 4 - \sqrt{22}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = 4 - \sqrt{22}$$
$$x_{1} = 4 + \sqrt{22}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(4 - \sqrt{22}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$\frac{39}{10} - \sqrt{22}$$
lo sustituimos en la expresión
$$-7 + \frac{\left(x - 3\right) \left(x + 2\right)}{x} > 0$$
$$-7 + \frac{\left(-3 + \left(\frac{39}{10} - \sqrt{22}\right)\right) \left(\left(\frac{39}{10} - \sqrt{22}\right) + 2\right)}{\frac{39}{10} - \sqrt{22}} > 0$$

     /9      ____\ /59     ____\    
     |-- - \/ 22 |*|-- - \/ 22 |    
     \10         / \10         /    
-7 + --------------------------- > 0
             39     ____            
             -- - \/ 22             
             10                     

Entonces
$$x < 4 - \sqrt{22}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 4 - \sqrt{22} \wedge x < 4 + \sqrt{22}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1