Se da la desigualdad:
$$\left(4 - \sqrt{2 x}\right) + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(4 - \sqrt{2 x}\right) + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} = 0$$
Resolvemos:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{9}{2}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{9}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{9}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{9}{2}\right)$$
=
$$\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{22}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(4 - \sqrt{2 x}\right) + \frac{1}{\sqrt{x} + 1} > 0$$
$$\left(4 - \sqrt{2 \left(\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{22}{5}\right)}\right) + \frac{1}{1 + \sqrt{\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{22}{5}}} > 0$$
_________________________________
/ _______________
1 / 44 ___ / ___
4 + ------------------------------------------- - / -- + \/ 2 + \/ 33 + 18*\/ 2
_________________________________ \/ 5
/ _______________ > 0
/ ___ / ___
/ 22 \/ 2 \/ 33 + 18*\/ 2
1 + / -- + ----- + ------------------
\/ 5 2 2
significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{18 \sqrt{2} + 33}}{2} + \frac{9}{2}$$
_____
\
-------ο-------
x1