2*sqrt(x-2)-sqrt(x+3)<=1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$2 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 3} \leq 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$2 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 3} = 1$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$2 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 3} = 1$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$\left(2 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 3}\right)^{2} = 1$$
o
$$\left(-1\right)^{2} \left(x + 3\right) + \left(\left(-1\right) 2 \cdot 2 \sqrt{\left(x - 2\right) \left(x + 3\right)} + 2^{2} \left(x - 2\right)\right) = 1$$
o
$$5 x - 4 \sqrt{x^{2} + x - 6} - 5 = 1$$
cambiamos:
$$- 4 \sqrt{x^{2} + x - 6} = 6 - 5 x$$
Elevemos las dos partes de la ecuación a la potencia 2
$$16 x^{2} + 16 x - 96 = \left(6 - 5 x\right)^{2}$$
$$16 x^{2} + 16 x - 96 = 25 x^{2} - 60 x + 36$$
Transpongamos la parte derecha de la ecuación miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo
$$- 9 x^{2} + 76 x - 132 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = -9$$
$$b = 76$$
$$c = -132$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(76)^2 - 4 * (-9) * (-132) = 1024

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{22}{9}$$
$$x_{2} = 6$$

Como
$$\sqrt{x^{2} + x - 6} = \frac{5 x}{4} - \frac{3}{2}$$
y
$$\sqrt{x^{2} + x - 6} \geq 0$$
entonces
$$\frac{5 x}{4} - \frac{3}{2} \geq 0$$
o
$$\frac{6}{5} \leq x$$
$$x < \infty$$
$$x_{1} = \frac{22}{9}$$
$$x_{2} = 6$$
comprobamos:
$$x_{1} = \frac{22}{9}$$
$$2 \sqrt{x_{1} - 2} - \sqrt{x_{1} + 3} - 1 = 0$$
=
$$\left(- \sqrt{\frac{22}{9} + 3} + 2 \sqrt{-2 + \frac{22}{9}}\right) - 1 = 0$$
=

-2 = 0

- No
$$x_{2} = 6$$
$$2 \sqrt{x_{2} - 2} - \sqrt{x_{2} + 3} - 1 = 0$$
=
$$-1 + \left(- \sqrt{3 + 6} + 2 \sqrt{-2 + 6}\right) = 0$$
=

0 = 0

- la igualdad
Entonces la respuesta definitiva es:
$$x_{2} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
$$x_{1} = 6$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = 6$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 6$$
=
$$\frac{59}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$2 \sqrt{x - 2} - \sqrt{x + 3} \leq 1$$
$$- \sqrt{3 + \frac{59}{10}} + 2 \sqrt{-2 + \frac{59}{10}} \leq 1$$

    _____     _____     
  \/ 890    \/ 390      
- ------- + ------- <= 1
     10        5        
     

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq 6$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1