1/2^x+2+3*1/2^x+1-1/2^x<3 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(\left(\left(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 3$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(\left(\left(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} = 3$$
Resolvemos:
$$x_{1} = 124.486487898351$$
$$x_{2} = 110.486487898351$$
$$x_{3} = 68.4864878983511$$
$$x_{4} = 98.4864878983511$$
$$x_{5} = 102.486487898351$$
$$x_{6} = 64.4864878983511$$
$$x_{7} = 82.4864878983511$$
$$x_{8} = 120.486487898351$$
$$x_{9} = 112.486487898351$$
$$x_{10} = 54.4864878983512$$
$$x_{11} = 86.4864878983511$$
$$x_{12} = 114.486487898351$$
$$x_{13} = 52.4864878983512$$
$$x_{14} = 118.486487898351$$
$$x_{15} = 66.4864878983511$$
$$x_{16} = 128.486487898351$$
$$x_{17} = 90.4864878983511$$
$$x_{18} = 70.4864878983511$$
$$x_{19} = 84.4864878983511$$
$$x_{20} = 62.4864878983512$$
$$x_{21} = 74.4864878983511$$
$$x_{22} = 78.4864878983511$$
$$x_{23} = 130.486487898351$$
$$x_{24} = 60.4864878983512$$
$$x_{25} = 104.486487898351$$
$$x_{26} = 56.4864878983512$$
$$x_{27} = 122.486487898351$$
$$x_{28} = 116.486487898351$$
$$x_{29} = 126.486487898351$$
$$x_{30} = 76.4864878983511$$
$$x_{31} = 46.4864878983512$$
$$x_{32} = 50.4864878983512$$
$$x_{33} = 92.4864878983511$$
$$x_{34} = 80.4864878983511$$
$$x_{35} = 106.486487898351$$
$$x_{36} = 72.4864878983511$$
$$x_{37} = 58.4864878983512$$
$$x_{38} = 88.4864878983511$$
$$x_{39} = 96.4864878983511$$
$$x_{40} = 48.4864878983512$$
$$x_{41} = 42.4864878983512$$
$$x_{42} = 94.4864878983511$$
$$x_{43} = 100.486487898351$$
$$x_{44} = 108.486487898351$$
$$x_{45} = 44.4864878983512$$
$$x_{1} = 124.486487898351$$
$$x_{2} = 110.486487898351$$
$$x_{3} = 68.4864878983511$$
$$x_{4} = 98.4864878983511$$
$$x_{5} = 102.486487898351$$
$$x_{6} = 64.4864878983511$$
$$x_{7} = 82.4864878983511$$
$$x_{8} = 120.486487898351$$
$$x_{9} = 112.486487898351$$
$$x_{10} = 54.4864878983512$$
$$x_{11} = 86.4864878983511$$
$$x_{12} = 114.486487898351$$
$$x_{13} = 52.4864878983512$$
$$x_{14} = 118.486487898351$$
$$x_{15} = 66.4864878983511$$
$$x_{16} = 128.486487898351$$
$$x_{17} = 90.4864878983511$$
$$x_{18} = 70.4864878983511$$
$$x_{19} = 84.4864878983511$$
$$x_{20} = 62.4864878983512$$
$$x_{21} = 74.4864878983511$$
$$x_{22} = 78.4864878983511$$
$$x_{23} = 130.486487898351$$
$$x_{24} = 60.4864878983512$$
$$x_{25} = 104.486487898351$$
$$x_{26} = 56.4864878983512$$
$$x_{27} = 122.486487898351$$
$$x_{28} = 116.486487898351$$
$$x_{29} = 126.486487898351$$
$$x_{30} = 76.4864878983511$$
$$x_{31} = 46.4864878983512$$
$$x_{32} = 50.4864878983512$$
$$x_{33} = 92.4864878983511$$
$$x_{34} = 80.4864878983511$$
$$x_{35} = 106.486487898351$$
$$x_{36} = 72.4864878983511$$
$$x_{37} = 58.4864878983512$$
$$x_{38} = 88.4864878983511$$
$$x_{39} = 96.4864878983511$$
$$x_{40} = 48.4864878983512$$
$$x_{41} = 42.4864878983512$$
$$x_{42} = 94.4864878983511$$
$$x_{43} = 100.486487898351$$
$$x_{44} = 108.486487898351$$
$$x_{45} = 44.4864878983512$$
Las raíces dadas
$$x_{41} = 42.4864878983512$$
$$x_{45} = 44.4864878983512$$
$$x_{31} = 46.4864878983512$$
$$x_{40} = 48.4864878983512$$
$$x_{32} = 50.4864878983512$$
$$x_{13} = 52.4864878983512$$
$$x_{10} = 54.4864878983512$$
$$x_{26} = 56.4864878983512$$
$$x_{37} = 58.4864878983512$$
$$x_{24} = 60.4864878983512$$
$$x_{20} = 62.4864878983512$$
$$x_{6} = 64.4864878983511$$
$$x_{15} = 66.4864878983511$$
$$x_{3} = 68.4864878983511$$
$$x_{18} = 70.4864878983511$$
$$x_{36} = 72.4864878983511$$
$$x_{21} = 74.4864878983511$$
$$x_{30} = 76.4864878983511$$
$$x_{22} = 78.4864878983511$$
$$x_{34} = 80.4864878983511$$
$$x_{7} = 82.4864878983511$$
$$x_{19} = 84.4864878983511$$
$$x_{11} = 86.4864878983511$$
$$x_{38} = 88.4864878983511$$
$$x_{17} = 90.4864878983511$$
$$x_{33} = 92.4864878983511$$
$$x_{42} = 94.4864878983511$$
$$x_{39} = 96.4864878983511$$
$$x_{4} = 98.4864878983511$$
$$x_{43} = 100.486487898351$$
$$x_{5} = 102.486487898351$$
$$x_{25} = 104.486487898351$$
$$x_{35} = 106.486487898351$$
$$x_{44} = 108.486487898351$$
$$x_{2} = 110.486487898351$$
$$x_{9} = 112.486487898351$$
$$x_{12} = 114.486487898351$$
$$x_{28} = 116.486487898351$$
$$x_{14} = 118.486487898351$$
$$x_{8} = 120.486487898351$$
$$x_{27} = 122.486487898351$$
$$x_{1} = 124.486487898351$$
$$x_{29} = 126.486487898351$$
$$x_{16} = 128.486487898351$$
$$x_{23} = 130.486487898351$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{41}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{41} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + 42.4864878983512$$
=
$$42.3864878983511$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(\left(\left(2 + \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 3 \left(\frac{1}{2}\right)^{x}\right) + 1\right) - \left(\frac{1}{2}\right)^{x} < 3$$
$$- \frac{1}{2^{42.3864878983511}} + \left(1 + \left(\frac{3}{2^{42.3864878983511}} + \left(\left(\frac{1}{2}\right)^{42.3864878983511} + 2\right)\right)\right) < 3$$

3.00000000000052 < 3

pero

3.00000000000052 > 3

Entonces
$$x < 42.4864878983512$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > 42.4864878983512 \wedge x < 44.4864878983512$$

         _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____           _____  
        /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x41      x45      x31      x40      x32      x13      x10      x26      x37      x24      x20      x6      x15      x3      x18      x36      x21      x30      x22      x34      x7      x19      x11      x38      x17      x33      x42      x39      x4      x43      x5      x25      x35      x44      x2      x9      x12      x28      x14      x8      x27      x1      x29      x16      x23

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x > 42.4864878983512 \wedge x < 44.4864878983512$$
$$x > 46.4864878983512 \wedge x < 48.4864878983512$$
$$x > 50.4864878983512 \wedge x < 52.4864878983512$$
$$x > 54.4864878983512 \wedge x < 56.4864878983512$$
$$x > 58.4864878983512 \wedge x < 60.4864878983512$$
$$x > 62.4864878983512 \wedge x < 64.4864878983511$$
$$x > 66.4864878983511 \wedge x < 68.4864878983511$$
$$x > 70.4864878983511 \wedge x < 72.4864878983511$$
$$x > 74.4864878983511 \wedge x < 76.4864878983511$$
$$x > 78.4864878983511 \wedge x < 80.4864878983511$$
$$x > 82.4864878983511 \wedge x < 84.4864878983511$$
$$x > 86.4864878983511 \wedge x < 88.4864878983511$$
$$x > 90.4864878983511 \wedge x < 92.4864878983511$$
$$x > 94.4864878983511 \wedge x < 96.4864878983511$$
$$x > 98.4864878983511 \wedge x < 100.486487898351$$
$$x > 102.486487898351 \wedge x < 104.486487898351$$
$$x > 106.486487898351 \wedge x < 108.486487898351$$
$$x > 110.486487898351 \wedge x < 112.486487898351$$
$$x > 114.486487898351 \wedge x < 116.486487898351$$
$$x > 118.486487898351 \wedge x < 120.486487898351$$
$$x > 122.486487898351 \wedge x < 124.486487898351$$
$$x > 126.486487898351 \wedge x < 128.486487898351$$
$$x > 130.486487898351$$