4sin^2(x)-8sin(x)+3<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
cambiamos
$$4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)} + 3 = 0$$
$$\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Es la ecuación de la forma

a*w^2 + b*w + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$w_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$w_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 4$$
$$b = -8$$
$$c = 3$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8)^2 - 4 * (4) * (3) = 16

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

w1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

w2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$w_{1} = \frac{3}{2}$$
$$w_{2} = \frac{1}{2}$$
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)}$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{\pi}{6}$$
$$x_{3} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{3} = 2 \pi n + \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{1}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{4} = 2 \pi n + \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
$$x_{3} = \pi - \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
$$x_{4} = \operatorname{asin}{\left(\frac{3}{2} \right)}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{6}$$
$$x_{2} = \frac{5 \pi}{6}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(4 \sin^{2}{\left(x \right)} - 8 \sin{\left(x \right)}\right) + 3 \leq 0$$
$$\left(- 8 \sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)} + 4 \sin^{2}{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{6} \right)}\right) + 3 \leq 0$$

         /1    pi\        2/1    pi\     
3 - 8*cos|-- + --| + 4*cos |-- + --| <= 0
         \10   3 /         \10   3 /     

pero

         /1    pi\        2/1    pi\     
3 - 8*cos|-- + --| + 4*cos |-- + --| >= 0
         \10   3 /         \10   3 /     

Entonces
$$x \leq \frac{\pi}{6}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq \frac{\pi}{6} \wedge x \leq \frac{5 \pi}{6}$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x1      x2