x-10/5+x^2<1/2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x^{2} + \left(x - 2\right) < \frac{1}{2}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x^{2} + \left(x - 2\right) = \frac{1}{2}$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$x^{2} + \left(x - 2\right) = \frac{1}{2}$$
en
$$\left(x^{2} + \left(x - 2\right)\right) - \frac{1}{2} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 1$$
$$c = - \frac{5}{2}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(1)^2 - 4 * (1) * (-5/2) = 11

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$\left(- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}\right) + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{3}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x^{2} + \left(x - 2\right) < \frac{1}{2}$$
$$\left(\left(- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{3}{5}\right) - 2\right) + \left(- \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{3}{5}\right)^{2} < \frac{1}{2}$$

                     2               
       /        ____\      ____      
  13   |  3   \/ 11 |    \/ 11  < 1/2
- -- + |- - - ------|  - ------      
  5    \  5     2   /      2         

pero

                     2               
       /        ____\      ____      
  13   |  3   \/ 11 |    \/ 11  > 1/2
- -- + |- - - ------|  - ------      
  5    \  5     2   /      2         

Entonces
$$x < - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{\sqrt{11}}{2} - \frac{1}{2} \wedge x < - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{11}}{2}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1