(2*sin(x)-sqrt(3))/sin(x)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3}}{\sin{\left(x \right)}} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
cambiamos
$$2 - \frac{\sqrt{3}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3}}{\sin{\left(x \right)}} = 0$$
Sustituimos
$$w = \sin{\left(x \right)}$$
Tenemos la ecuación:
$$\frac{2 w - \sqrt{3}}{w} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por el denominador w
obtendremos:
$$w \left(2 - \frac{\sqrt{3}}{w}\right) = 0$$
Abrimos los paréntesis en el miembro izquierdo de la ecuación

w2+sqrt+3w) = 0

Dividamos ambos miembros de la ecuación en 2 - sqrt(3)/w

w = 0 / (2 - sqrt(3)/w)

Obtenemos la respuesta: w = sqrt(3)/2
hacemos cambio inverso
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
Tenemos la ecuación
$$\sin{\left(x \right)} = w$$
es la ecuación trigonométrica más simple
Esta ecuación se reorganiza en
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
O
$$x = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w \right)}$$
$$x = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w \right)} + \pi$$
, donde n es cualquier número entero
sustituimos w:
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)}$$
$$x_{1} = 2 \pi n + \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(w_{1} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n - \operatorname{asin}{\left(\frac{\sqrt{3}}{2} \right)} + \pi$$
$$x_{2} = 2 \pi n + \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{\pi}{3}$$
$$x_{2} = \frac{2 \pi}{3}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{2 \sin{\left(x \right)} - \sqrt{3}}{\sin{\left(x \right)}} < 0$$
$$\frac{- \sqrt{3} + 2 \sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)}}{\sin{\left(- \frac{1}{10} + \frac{\pi}{3} \right)}} < 0$$

    ___        /1    pi\    
- \/ 3  + 2*cos|-- + --|    
               \10   6 /    
------------------------ < 0
         /1    pi\          
      cos|-- + --|          
         \10   6 /          

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < \frac{\pi}{3}$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x1      x2

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < \frac{\pi}{3}$$
$$x > \frac{2 \pi}{3}$$