((2x^2-1)/4)-((3-4x)/6)+((8x-5)/8)<19/24 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{8 x - 5}{8} + \left(- \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{2 x^{2} - 1}{4}\right) < \frac{19}{24}$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{8 x - 5}{8} + \left(- \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{2 x^{2} - 1}{4}\right) = \frac{19}{24}$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$\frac{8 x - 5}{8} + \left(- \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{2 x^{2} - 1}{4}\right) = \frac{19}{24}$$
en
$$\left(\frac{8 x - 5}{8} + \left(- \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{2 x^{2} - 1}{4}\right)\right) - \frac{19}{24} = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(\frac{8 x - 5}{8} + \left(- \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{2 x^{2} - 1}{4}\right)\right) - \frac{19}{24} = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$\frac{x^{2}}{2} + \frac{5 x}{3} - \frac{13}{6} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = \frac{1}{2}$$
$$b = \frac{5}{3}$$
$$c = - \frac{13}{6}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(5/3)^2 - 4 * (1/2) * (-13/6) = 64/9

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{13}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{133}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{8 x - 5}{8} + \left(- \frac{3 - 4 x}{6} + \frac{2 x^{2} - 1}{4}\right) < \frac{19}{24}$$
$$\frac{\frac{\left(-133\right) 8}{30} - 5}{8} + \left(- \frac{3 - \frac{\left(-133\right) 4}{30}}{6} + \frac{-1 + 2 \left(- \frac{133}{30}\right)^{2}}{4}\right) < \frac{19}{24}$$

319   19
--- < --
300   24

pero

319   19
--- > --
300   24

Entonces
$$x < - \frac{13}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{13}{3} \wedge x < 1$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1