|x+2|+x|x|<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x \left|{x}\right| + \left|{x + 2}\right| \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x \left|{x}\right| + \left|{x + 2}\right| = 0$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x \geq 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
o
$$0 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$x x + \left(x + 2\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$x^{2} + x + 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
pero x1 no satisface a la desigualdad
$$x_{2} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
pero x2 no satisface a la desigualdad

2.
$$x \geq 0$$
$$x + 2 < 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

3.
$$x < 0$$
$$x + 2 \geq 0$$
o
$$-2 \leq x \wedge x < 0$$
obtenemos la ecuación
$$- x x + \left(x + 2\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} + x + 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{3} = -1$$
$$x_{4} = 2$$
pero x4 no satisface a la desigualdad

4.
$$x < 0$$
$$x + 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < -2$$
obtenemos la ecuación
$$- x x + \left(- x - 2\right) = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- x^{2} - x - 2 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{5} = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
pero x5 no satisface a la desigualdad
$$x_{6} = - \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7} i}{2}$$
pero x6 no satisface a la desigualdad


$$x_{1} = -1$$
$$x_{1} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = -1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x \left|{x}\right| + \left|{x + 2}\right| \leq 0$$
$$- \frac{11 \left|{- \frac{11}{10}}\right|}{10} + \left|{- \frac{11}{10} + 2}\right| \leq 0$$

-31      
---- <= 0
100      

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x \leq -1$$

 _____          
      \    
-------•-------
       x1