x-4/(x-3)>=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$x - \frac{4}{x - 3} \geq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$x - \frac{4}{x - 3} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$x - \frac{4}{x - 3} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
y -3 + x
obtendremos:
$$\left(x - 3\right) \left(x - \frac{4}{x - 3}\right) = 0 \left(x - 3\right)$$
$$x^{2} - 3 x - 4 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -3$$
$$c = -4$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-3)^2 - 4 * (1) * (-4) = 25

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
$$x_{2} = -1$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -1$$
$$x_{1} = 4$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-1 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{11}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$x - \frac{4}{x - 3} \geq 0$$
$$- \frac{11}{10} - \frac{4}{-3 - \frac{11}{10}} \geq 0$$

-51      
---- >= 0
410      

pero

-51     
---- < 0
410     

Entonces
$$x \leq -1$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -1 \wedge x \leq 4$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1