(x^2+9*x)/(x-2)<0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{x^{2} + 9 x}{x - 2} < 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{x^{2} + 9 x}{x - 2} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{x^{2} + 9 x}{x - 2} = 0$$
Multipliquemos las dos partes de la ecuación por los denominadores:
-2 + x
obtendremos:
$$\frac{\left(x - 2\right) \left(x^{2} + 9 x\right)}{x - 2} = 0$$
$$x \left(x + 9\right) = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 9$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(9)^2 - 4 * (1) * (0) = 81

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -9$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -9$$
$$x_{1} = 0$$
$$x_{2} = -9$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -9$$
$$x_{1} = 0$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-9 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{91}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{x^{2} + 9 x}{x - 2} < 0$$
$$\frac{\frac{\left(-91\right) 9}{10} + \left(- \frac{91}{10}\right)^{2}}{- \frac{91}{10} - 2} < 0$$

-91     
---- < 0
1110    

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -9$$

 _____           _____          
      \         /
-------ο-------ο-------
       x2      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -9$$
$$x > 0$$