(x^2−64)(x^2+2x)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x^{2} - 64\right) \left(x^{2} + 2 x\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x^{2} - 64\right) \left(x^{2} + 2 x\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(x^{2} - 64\right) \left(x^{2} + 2 x\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x^{2} - 64 = 0$$
$$x^{2} + 2 x = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x^{2} - 64 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 0$$
$$c = -64$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(0)^2 - 4 * (1) * (-64) = 256

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -8$$
2.
$$x^{2} + 2 x = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = 2$$
$$c = 0$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(2)^2 - 4 * (1) * (0) = 4

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{1} = 8$$
$$x_{2} = -8$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{4} = -2$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -8$$
$$x_{4} = -2$$
$$x_{3} = 0$$
$$x_{1} = 8$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-8 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{81}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x^{2} - 64\right) \left(x^{2} + 2 x\right) > 0$$
$$\left(-64 + \left(- \frac{81}{10}\right)^{2}\right) \left(\frac{\left(-81\right) 2}{10} + \left(- \frac{81}{10}\right)^{2}\right) > 0$$

795501    
------ > 0
10000     

significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x < -8$$

 _____           _____           _____          
      \         /     \         /
-------ο-------ο-------ο-------ο-------
       x2      x4      x3      x1

Recibiremos otras soluciones de la desigualdad pasando al polo siguiente etc.
etc.
Respuesta:
$$x < -8$$
$$x > -2 \wedge x < 0$$
$$x > 8$$