log(4)*(x-2)^2<2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \right)} < 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \right)} = 2$$
Resolvemos:
Transportemos el miembro derecho de la ecuación al
miembro izquierdo de la ecuación con el signo negativo.

La ecuación se convierte de
$$\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \right)} = 2$$
en
$$\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \right)} - 2 = 0$$
Abramos la expresión en la ecuación
$$\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \right)} - 2 = 0$$
Obtenemos la ecuación cuadrática
$$2 x^{2} \log{\left(2 \right)} - 8 x \log{\left(2 \right)} - 2 + 8 \log{\left(2 \right)} = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{1} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 2 \log{\left(2 \right)}$$
$$b = - 8 \log{\left(2 \right)}$$
$$c = -2 + 8 \log{\left(2 \right)}$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-8*log(2))^2 - 4 * (2*log(2)) * (-2 + 8*log(2)) = 64*log(2)^2 - 8*(-2 + 8*log(2))*log(2)

Como D > 0 la ecuación tiene dos raíces.

x1 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x2 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
$$x_{1} = \frac{\sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(x - 2\right)^{2} \log{\left(4 \right)} < 2$$
$$\left(-2 + \left(- \frac{1}{10} + \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}\right)\right)^{2} \log{\left(4 \right)} < 2$$

                                                                2           
/            _______________________________________           \            
|           /       2                                          |            
|  21   - \/  64*log (2) - 8*(-2 + 8*log(2))*log(2)  + 8*log(2)|         < 2
|- -- + -------------------------------------------------------| *log(4)    
\  10                           4*log(2)                       /            
    

pero

                                                                2           
/            _______________________________________           \            
|           /       2                                          |            
|  21   - \/  64*log (2) - 8*(-2 + 8*log(2))*log(2)  + 8*log(2)|         > 2
|- -- + -------------------------------------------------------| *log(4)    
\  10                           4*log(2)                       /            
    

Entonces
$$x < \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > \frac{- \sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}} \wedge x < \frac{\sqrt{- 8 \left(-2 + 8 \log{\left(2 \right)}\right) \log{\left(2 \right)} + 64 \log{\left(2 \right)}^{2}} + 8 \log{\left(2 \right)}}{4 \log{\left(2 \right)}}$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1