|3x-1|<=2 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left|{3 x - 1}\right| \leq 2$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left|{3 x - 1}\right| = 2$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$3 x - 1 \geq 0$$
o
$$\frac{1}{3} \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$\left(3 x - 1\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$3 x - 3 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = 1$$

2.
$$3 x - 1 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < \frac{1}{3}$$
obtenemos la ecuación
$$\left(1 - 3 x\right) - 2 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$- 3 x - 1 = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$


$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{1}{3}$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{13}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left|{3 x - 1}\right| \leq 2$$
$$\left|{\frac{\left(-13\right) 3}{30} - 1}\right| \leq 2$$

23     
-- <= 2
10     

pero

23     
-- >= 2
10     

Entonces
$$x \leq - \frac{1}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq - \frac{1}{3} \wedge x \leq 1$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1