|x-2|-|x|>1 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$- \left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| > 1$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$- \left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| = 1$$
Resolvemos:
Para cada expresión dentro del módulo en la ecuación
admitimos los casos cuando la expresión correspondiente es ">= 0" o "< 0",
resolvemos las ecuaciones obtenidas.

1.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
o
$$2 \leq x \wedge x < \infty$$
obtenemos la ecuación
$$- x + \left(x - 2\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:

2.
$$x \geq 0$$
$$x - 2 < 0$$
o
$$0 \leq x \wedge x < 2$$
obtenemos la ecuación
$$- x + \left(2 - x\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
$$1 - 2 x = 0$$
la resolución en este intervalo:
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$

3.
$$x < 0$$
$$x - 2 \geq 0$$
Las desigualdades no se cumplen, hacemos caso omiso

4.
$$x < 0$$
$$x - 2 < 0$$
o
$$-\infty < x \wedge x < 0$$
obtenemos la ecuación
$$- \left(-1\right) x + \left(2 - x\right) - 1 = 0$$
simplificamos, obtenemos
incorrecto
la resolución en este intervalo:


$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
Las raíces dadas
$$x_{1} = \frac{1}{2}$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{1}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{1} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{1}{10} + \frac{1}{2}$$
=
$$\frac{2}{5}$$
lo sustituimos en la expresión
$$- \left|{x}\right| + \left|{x - 2}\right| > 1$$
$$- \left|{\frac{2}{5}}\right| + \left|{-2 + \frac{2}{5}}\right| > 1$$

6/5 > 1

significa que la solución de la desigualdad será con:
$$x < \frac{1}{2}$$

 _____          
      \    
-------ο-------
       x1