(x-1)(x+4)/(3-x)<=0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 4\right)}{3 - x} \leq 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 4\right)}{3 - x} = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 4\right)}{3 - x} = 0$$
denominador
$$3 - x$$
entonces

x no es igual a 3

Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$x - 1 = 0$$
$$x + 4 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$x - 1 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = 1$$
Obtenemos la respuesta: x1 = 1
2.
$$x + 4 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$x = -4$$
Obtenemos la respuesta: x2 = -4
pero

x no es igual a 3

$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 1$$
$$x_{2} = -4$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = -4$$
$$x_{1} = 1$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} \leq x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$-4 + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{41}{10}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\frac{\left(x - 1\right) \left(x + 4\right)}{3 - x} \leq 0$$
$$\frac{\left(- \frac{41}{10} - 1\right) \left(- \frac{41}{10} + 4\right)}{3 - - \frac{41}{10}} \leq 0$$

 51     
--- <= 0
710     

pero

 51     
--- >= 0
710     

Entonces
$$x \leq -4$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x \geq -4 \wedge x \leq 1$$

         _____  
        /     \  
-------•-------•-------
       x2      x1