(2-x)*(3x+5)*(x^2-x+1)>0 desigualdades

Se da la desigualdad:
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 5\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right) > 0$$
Para resolver esta desigualdad primero hay que resolver la ecuación correspondiente:
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 5\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right) = 0$$
Resolvemos:
Tenemos la ecuación:
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 5\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right) = 0$$
Ya que la parte derecha de la ecuación es igual a cero, la solución de la ecuación será, si por lo menos uno de los factores en la parte izquierda de la ecuación es igual a cero.
Obtenemos ecuaciones
$$2 - x = 0$$
$$3 x + 5 = 0$$
$$x^{2} - x + 1 = 0$$
resolvemos las ecuaciones obtenidas:
1.
$$2 - x = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$- x = -2$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en -1

x = -2 / (-1)

Obtenemos la respuesta: x1 = 2
2.
$$3 x + 5 = 0$$
Transportamos los términos libres (sin x)
del miembro izquierdo al derecho, obtenemos:
$$3 x = -5$$
Dividamos ambos miembros de la ecuación en 3

x = -5 / (3)

Obtenemos la respuesta: x2 = -5/3
3.
$$x^{2} - x + 1 = 0$$
Es la ecuación de la forma

a*x^2 + b*x + c = 0

La ecuación cuadrática puede ser resuelta
con la ayuda del discriminante.
Las raíces de la ecuación cuadrática:
$$x_{3} = \frac{\sqrt{D} - b}{2 a}$$
$$x_{4} = \frac{- \sqrt{D} - b}{2 a}$$
donde D = b^2 - 4*a*c es el discriminante.
Como
$$a = 1$$
$$b = -1$$
$$c = 1$$
, entonces

D = b^2 - 4 * a * c = 

(-1)^2 - 4 * (1) * (1) = -3

Como D < 0 la ecuación
no tiene raíces reales,
pero hay raíces complejas.

x3 = (-b + sqrt(D)) / (2*a)

x4 = (-b - sqrt(D)) / (2*a)

o
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{5}{3}$$
$$x_{3} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
$$x_{4} = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3} i}{2}$$
Descartamos las soluciones complejas:
$$x_{1} = 2$$
$$x_{2} = - \frac{5}{3}$$
Las raíces dadas
$$x_{2} = - \frac{5}{3}$$
$$x_{1} = 2$$
son puntos de cambio del signo de desigualdad en las soluciones.
Primero definámonos con el signo hasta el punto extremo izquierdo:
$$x_{0} < x_{2}$$
Consideremos, por ejemplo, el punto
$$x_{0} = x_{2} - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{5}{3} + - \frac{1}{10}$$
=
$$- \frac{53}{30}$$
lo sustituimos en la expresión
$$\left(2 - x\right) \left(3 x + 5\right) \left(\left(x^{2} - x\right) + 1\right) > 0$$
$$\left(2 - - \frac{53}{30}\right) \left(\frac{\left(-53\right) 3}{30} + 5\right) \left(1 + \left(- \frac{-53}{30} + \left(- \frac{53}{30}\right)^{2}\right)\right) > 0$$

-598787     
-------- > 0
 90000      

Entonces
$$x < - \frac{5}{3}$$
no se cumple
significa que una de las soluciones de nuestra ecuación será con:
$$x > - \frac{5}{3} \wedge x < 2$$

         _____  
        /     \  
-------ο-------ο-------
       x2      x1